數論人類從學會計數開始就一直和自然數打交道了，后來由于實踐的需要，數的概念進一步擴充，自然數被叫做正整數（現在的數學課本里已經把0歸入自然數了），而把它們的相反數叫做負整數，介于正整數和負整數中間的中性數叫做0。它們和起來叫做整數。對于整數

數論

人類從學會計數開始就一直和自然數打交道了，后來由于實踐的需要，數的概念進一步擴充，自然數被叫做正整數（現在的數學課本里已經把0歸入自然數了），而把它們的相反數叫做負整數，介于正整數和負整數中間的中性數叫做0。它們和起來叫做整數。

對于整數可以施行加、減、乘、除四種運算，叫做四則運算。其中加法、減法和乘法這三種運算，在整數范圍內可以毫無阻礙地進行。也就是說，任意兩個或兩個以上的整數相加、相減、相乘的時候，它們的和、差、積仍然是一個整數。但整數之間的除法在整數范圍內并不一定能夠無阻礙地進行。

人們在對整數進行運算的應用和研究中，逐步熟悉了整數的特性。比如，整數可分為兩大類—奇數和偶數（通常被稱為單數、雙數）等。利用整數的一些基本性質，可以進一步探索許多有趣和復雜的數學規律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來許多的數學家不斷地研究和探索。

數論這門學科最初是從研究整數開始的，所以叫做整數論。后來整數論又進一步發展，就叫做數論了。確切的說，數論就是一門研究整數性質的學科。

數論的發展簡況

自古以來，數學家對于整數性質的研究一直十分重視，但是直到十九世紀，這些研究成果還只是孤立地記載在各個時期的算術著作中，也就是說還沒有形成完整統一的學科。

自我國古代，許多著名的數學著作中都關于數論內容的論述，比如求最大公約數、勾股數組、某些不定方程整數解的問題等等。在國外，古希臘時代的數學家對于數論中一個最基本的問題——整除性問題就有系統的研究，關于質數、和數、約數、倍數等一系列概念也已經被提出來應用了。后來的各個時代的數學家也都對整數性質的研究做出過重大的貢獻，使數論的基本理論逐步得到完善。

在整數性質的研究中，人們發現質數是構成正整數的基本“材料”，要深入研究整數的性質就必須研究質數的性質。因此關于質數性質的有關問題，一直受到數學家的關注。

到了十八世紀末，歷代數學家積累的關于整數性質零散的知識已經十分豐富了，把它們整理加工成為一門系統的學科的條件已經完全成熟了。德國數學家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術探討》，1800年寄給了法國科學院，但是法國科學院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發表了這部著作。這部書開始了現代數論的新紀元。

在《算術探討》中，高斯把過去研究整數性質所用的符號標準化了，把當時現存的定理系統化并進行了推廣，把要研究的問題和意志的方法進行了分類，還引進了新的方法。

數論的基本內容

數論形成了一門獨立的學科后，隨著數學其他分支的發展，研究數論的方法也在不斷發展。如果按照研究方法來說，可以分成初等數論、解析數論、代數數論和幾何數論四個部分。

初等數論是數論中不求助于其他數學學科的幫助，只依靠初等的方法來研究整數性質的分支。比如中國古代有名的“中國剩余定理”，就是初等數論中很重要的內容。

解析數論是使用數學分析作為工具來解決數論問題的分支。數學分析是以函數作為研究對象的、在極限概念的基礎上建立起來的數學學科。用數學分析來解決數論問題是由歐拉奠基的，俄國數學家車比雪夫等也對它的發展做出過貢獻。解析數論是解決數論中艱深問題的強有力的工具。比如，對于“質數有無限多個”這個命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數學分析中有關無窮級數的若干知識。二十世紀三十年代，蘇聯數學家維諾格拉多夫創造性的提出了“三角和方法”，這個方法對于解決某些數論難題有著重要的作用。我國數學家陳景潤在解決“哥德巴赫猜想”問題中也使用的是解析數論的方法。

代數數論是把整數的概念推廣到代數整數的一個分支。數學家把整數概念推廣到一般代數數域上去，相應地也建立了素整數、可除性等概念。

幾何數論是由德國數學家、物理學家閔可夫斯基等人開創和奠基的。幾何數論研究的基本對象是“空間格網”。什么是空間格網呢？在給定的直角坐標系上，坐標全是整數的點，叫做整點；全部整點構成的組就叫做空間格網。空間格網對幾何學和結晶學有著重大的意義。由于幾何數論涉及的問題比較復雜，必須具有相當的數學基礎才能深入研究。

數論是一門高度抽象的數學學科，長期以來，它的發展處于純理論的研究狀態，它對數學理論的發展起到了積極的作用。但對于大多數人來講并不清楚它的實際意義。

由于近代計算機科學和應用數學的發展，數論得到了廣泛的應用。比如在計算方法、代數編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數論范圍內的許多研究成果；又文獻報道，現在有些國家應用“孫子定理”來進行測距，用原根和指數來計算離散傅立葉變換等。此外，數論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應用。特別是現在由于計算機的發展，用離散量的計算去逼近連續量而達到所要求的精度已成為可能。

數論在數學中的地位是獨特的，高斯曾經說過“數學是科學的皇后，數論是數學中的皇冠”。因此，數學家都喜歡把數論中一些懸而未決的疑難問題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵人們去“摘取”。下面簡要列出幾顆“明珠”：費爾馬大定理、孿生素數問題、歌德巴赫猜想、圓內整點問題、完全數問題……

在我國近代，數論也是發展最早的數學分支之一。從二十世紀三十年代開始，在解析數論、刁藩都方程、一致分布等方面都有過重要的貢獻，出現了華羅庚、閔嗣鶴、柯召等第一流的數論專家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素數論方面的研究是享有盛名的。1949年以后，數論的研究的得到了更大的發展。特別是在“篩法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界領先的優秀成績。

特別是陳景潤在1966年證明“歌德巴赫猜想”的“一個大偶數可以表示為一個素數和一個不超過兩個素數的乘積之和”以后，在國際數學引起了強烈的反響，盛贊陳景潤的論文是解析數學的名作，是篩法的光輝頂點。至今，這仍是“歌德巴赫猜想”的最好結果。

拓撲學

拓撲學的由來

幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數學分支，它屬于幾何學的范疇。有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了。那時候發現一些孤立的問題，后來在拓撲學的形成中占著重要的地位。

在數學上，關于哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史的重要問題。

哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，[推薦]數學各個研究方向簡介普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯結起來。人們閑暇時經常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的位置。這個問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個明確、理想的答案還不那么容易。

1736年，有人帶著這個問題找到了當時的大數學家歐拉，歐拉經過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出了解答。歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那么這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過進一步的分析，歐拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最后回到原來的位置。并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的“先聲”。

在拓撲學的發展歷史中，還有一個著名而且重要的關于多面體的定理也和歐拉有關。這個定理內容是：如果一個凸多面體的頂點數是v、棱數是e、面數是f，那么它們總有這樣的關系：f+v-e=2。

根據多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

著名的“四色問題”也是與拓撲學發展有關的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。

四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業于倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。”

1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但后來數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。

進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過不少數學家并不滿足于計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。

上面的幾個例子所講的都是一些和幾何圖形有關的問題，但這些問題又與傳統的幾何學不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓撲學”的先聲。

什么是拓撲學？

拓撲學的英文名是Topology，直譯是地志學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。我國早期曾經翻譯成“形勢幾何學”、“連續幾何學”、“一對一的連續變換群下的幾何學”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統一的《數學名詞》把它確定為拓撲學，這是按音譯過來的。

拓撲學是幾何學的一個分支，但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質。拓撲學對于研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關系都無關。

舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那么這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學里所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學里沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數。這些就是拓撲學思考問題的出發點。

拓撲性質有哪些呢？首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的一個拓撲性質。

在拓撲學里不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。左圖的三樣東西就是拓撲等價的，換句話講，就是從拓撲學的角度看，它們是完全一樣的。

在一個球面上任選一些點用不相交的線把它們連接起來，這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓撲變換下，點、線、塊的數目仍和原來的數目一樣，這就是拓撲等價。一般地說，對于任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變幻，就存在拓撲等價。

應該指出，環面不具有這個性質。比如像左圖那樣，把環面切開，它不至于分成許多塊，只是變成一個彎曲的圓桶形，對于這種情況，我們就說球面不能拓撲的變成環面。所以球面和環面在拓撲學中是不同的曲面。

直線上的點和線的結合關系、順序關系，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質。在拓撲學中曲線和曲面的閉合性質也是拓撲性質。[推薦]數學各個研究方向簡介

我們通常講的平面、曲面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。但德國數學家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發現了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來涂滿兩個側面。

拓撲變換的不變性、不變量還有很多，這里不在介紹。

拓撲學建立后，由于其它數學學科的發展需要，它也得到了迅速的發展。特別是黎曼創立黎曼幾何以后，他把拓撲學概念作為分析函數論的基礎，更加促進了拓撲學的進展。

二十世紀以來，集合論被引進了拓撲學，為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關于任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以應用集合來論述。

因為大量自然現象具有連續性，所以拓撲學具有廣泛聯系各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的集合結構，從而掌握空間之間的函數關系。本世紀三十年代以后，數學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結構概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數學分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究取線、曲面等在一點附近的彎曲情況，而拓撲學是研究曲面的全局聯系的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質的聯系。1945年，美籍中國數學家陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯系，并推進了整體幾何學的發展。

拓撲學發展到今天，在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重于用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重于用代數方法來研究的，叫做代數拓撲。現在，這兩個分支又有統一的趨勢。

射影幾何

射影幾何是研究圖形的射影性質，即它們經過射影變換后，依然保持不變的圖形性質的幾何學分支學科。一度也叫做投影幾何學，在經典幾何學中，射影幾何處于一種特殊的地位，通過它可以把其他一些幾何學聯系起來。

射影幾何的發展簡況

十七世紀，當笛卡兒和費爾馬創立的解析幾何問世的時候，還有一門幾何學同時出現在人們的面前。這門幾何學和畫圖有很密切的關系，它的某些概念早在古希臘時期就曾經引起一些學者的注意，歐洲文藝復興時期透視學的興起，給這門幾何學的產生和成長準備了充分的條件。這門幾何學就是射影幾何學。

基于繪圖學和建筑學的需要，古希臘幾何學家就開始研究透視法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波羅尼奧斯就曾把二次曲線作為正圓錐面的截線來研究。在4世紀帕普斯的著作中，出現了帕普斯定理。

在文藝復興時期，人們在繪畫和建筑藝術方面非常注意和大力研究如何在平面上表現實物的圖形。那時候，人們發現，一個畫家要把一個事物畫在一塊畫布上就好比是用自己的眼睛當作投影中心，把實物的影子影射到畫布上去，然后再描繪出來。在這個過程中，被描繪下來的像中的各個元素的相對大小和位置關系，有的變化了，有的卻保持不變。這樣就促使了數學家對圖形在中心投影下的性質進行研究，因而就逐漸產生了許多過去沒有的新的概念和理論，形成了射影幾何這門學科。

射影幾何真正成為獨立的學科、成為幾何學的一個重要分支，主要是在十七世紀。在17世紀初期，開普勒最早引進了無窮遠點概念。稍后，為這門學科建立而做出了重要貢獻的是兩位法國數學家——笛沙格和帕斯卡。

笛沙格是一個自學成才的數學家，他年輕的時候當過陸軍軍官，后來鉆研工程技術，成了一名工程師和建筑師，他很不贊成為理論而搞理論，決心用新的方法來證明圓錐曲線的定理。1639年，他出版了主要著作《試論圓錐曲線和平面的相交所得結果的初稿》，書中他引入了許多幾何學的新概念。他的朋友笛卡爾、帕斯卡、費爾馬都很推崇他的著作，費爾馬甚至認為他是圓錐曲線理論的真正奠基人。

迪沙格在他的著作中，把直線看作是具有無窮大半徑的圓，而曲線的切線被看作是割線的極限，這些概念都是射影幾何學的基礎。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果兩個三角形對應頂點連線共點，那么對應邊的交點共線，反之也成立”，就是射影幾何的基本定理。

帕斯卡也為射影幾何學的早期工作做出了重要的貢獻，1641年，他發現了一條定理：“內接于二次曲線的六邊形的三雙對邊的交點共線。”這條定理叫做帕斯卡六邊形定理，也是射影幾何學中的一條重要定理。1658年，他寫了《圓錐曲線論》一書，書中很多定理都是射影幾何方面的內容。迪沙格和他是朋友，曾經敦促他搞透視學方面的研究，并且建議他要把圓錐曲線的許多性質簡化成少數幾個基本命題作為目標。帕斯卡接受了這些建議。后來他寫了許多有關射影幾何方面的小冊子。

不過迪沙格和帕斯卡的這些定理，只涉及關聯性質而不涉及度量性質(長度、角度、面積)。但他們在證明中卻用到了長度概念，而不是用嚴格的射影方法，他們也沒有意識到，自己的研究方向會導致產生一個新的幾何體系射影幾何。他們所用的是綜合法，隨著解析幾何和微積分的創立，綜合法讓位于解析法，射影幾何的探討也中斷了。

射影幾何的主要奠基人是19世紀的彭賽列。他是畫法幾何的創始人蒙日的學生。蒙日帶動了他的許多學生用綜合法研究幾何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被長期忽視了，前人的許多工作他們不了解，不得不重新再做。

1822年，彭賽列發表了射影幾何的第一部系統著作。他是認識到射影幾何是一個新的數學分支的第一個數學家。他通過幾何方法引進無窮遠虛圓點，研究了配極對應并用它來確立對偶原理。稍后，施泰納研究了利用簡單圖形產生較復雜圖形的方法，線素二次曲線概念也是他引進的。為了擺脫坐標系對度量概念的依賴，施陶特通過幾何作圖來建立直線上的點坐標系，進而使交比也不依賴于長度概念。由于忽視了連續公理的必要性，他建立坐標系的做法還不完善，但卻邁出了決定性的一步。

另—方面，運用解析法來研究射影幾何也有長足進展。首先是莫比烏斯創建一種齊次坐標系，把變換分為全等，相似，仿射，直射等類型，給出線束中四條線交比的度量公式等。接著，普呂克引進丁另一種齊次坐標系，得到了平面上無窮遠線的方程，無窮遠圓點的坐標。他還引進了線坐標概念，于是從代數觀點就自然得到了對偶原理，并得到了關于一般線素曲線的一些概念。

在19世紀前半葉的幾何研究中，綜合法和解析法的爭論異常激烈；有些數學家完全否定綜合法，認為它沒有前途，而一些幾何學家，如沙勒，施圖迪和施泰納等，則堅持用綜合法而排斥解析法。還有一些人，如彭賽列，雖然承認綜合法有其局限性，在研究過程中也難免借助于代數，但在著作中總是用綜合法來論證。他們的努力使綜合射影幾何形成一個優美的體系，而且用綜合法也確實形象鮮明，有些問題論證直接而簡潔。1882年帕施建成第一個嚴格的射影幾何演繹體系。

射影幾何學的發展和其他數學分支的發展有密切的關系，特別是“群”的概念產生以后，也被引進了射影幾何學，對這門幾何學的研究起了促進作用。

把各種幾何和變換群相聯系的是克萊因，他在埃爾朗根綱領中提出了這個觀點，并把幾種經典幾何看作射影幾何的子幾何，使這些幾何之間的關系變得十分明朗。這個綱領產生了巨大影響。但有些幾何，如黎曼幾何，不能納入這個分類法。后來嘉當等在拓廣幾何分類的方法中作出了新的貢獻。

射影幾何學的內容

概括的說，射影幾何學是幾何學的一個重要分支學科，它是專門研究圖形的位置關系的，也是專門用來討論在把點投影到直線或者平面上的時候，圖形的不變性質的科學。

在射影幾何學中，把無窮遠點看作是“理想點”。通常的直線再加上一個無窮點就是無窮遠直線，如果一個平面內兩條直線平行，那么這兩條直線就交于這兩條直線共有的無窮遠點。通過同一無窮遠點的所有直線平行。

在引入無窮遠點和無窮遠直線后，原來普通點和普通直線的結合關系依然成立，而過去只有兩條直線不平行的時候才能求交點的限制就消失了。

由于經過同一個無窮遠點的直線都平行，因此中心射影和平行射影兩者就可以統一了。平行射影可以看作是經過無窮遠點的中心投影了。這樣凡是利用中心投影或者平行投影把一個圖形映成另一個圖形的映射，就都可以叫做射影變換了。

射影變換有兩個重要的性質：首先，射影變換使點列變點列，直線變直線，線束變線束，點和直線的結合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說明兩個平面點之間的射影對應。

在射影幾何里，把點和直線叫做對偶元素，把“過一點作一直線”和“在一直線上取一點”叫做對偶運算。在兩個圖形中，它們如果都是由點和直線組成，把其中一圖形里的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，結果就得到另一個圖形。這兩個圖形叫做對偶圖形。在一個命題中敘述的內容只是關于點、直線和平面的位置，可把各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算的時候，結果就得到另一個命題。這兩個命題叫做對偶命題。

這就是射影幾何學所特有的對偶原則。在射影平面上，如果一個命題成立，那么它的對偶命題也成立，這叫做平面對偶原則。同樣，在射影空間里，如果一個命題成立，那么它的對偶命題也成立，叫做空間對偶原則。

研究在射影變換下二次曲線的不變性質，也是射影幾何學的一項重要內容。

如果就幾何學內容的多少來說，射影幾何學< 仿射幾何學< 歐氏幾何學，這就是說歐氏幾何學的內容最豐富，而射影幾何學的內容最貧乏。比如在歐氏幾何學里可以討論仿射幾何學的對象(如簡比、平行性等)和射影幾何學的對象(如四點的交比等)，反過來，在射影幾何學里不能討論圖形的仿射性質，而在仿射幾何學里也不能討論圖形的度量性質。

1872年，德國數學家克萊因在愛爾朗根大學提出著名的《愛爾朗根計劃書》中提出用變換群對幾何學進行分類，就是凡是一種變換，它的全體能組成“群”，就有相應的幾何學，而在每一種幾何學里，主要研究在相應的變換下的不變量和不變性。

常微分方程

微分方程的概念

方程對于學過中學數學的人來說是比較熟悉的；在初等數學中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數方程、對數方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數和未知數之間的關系找出來，列出包含一個未知數或幾個未知數的一個或者多個方程式，然后取求方程的解。

但是在實際工作中，常常出現一些特點和以上方程完全不同的問題。比如：物質在一定條件下的運動變化，要尋求它的運動、變化的規律；某個物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時間變化的規律；火箭在發動機推動下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道，等等。

物質運動和它的變化規律在數學上是用函數關系來描述的，因此，這類問題就是要去尋求滿足某些條件的一個或者幾個未知函數。也就是說，凡是這類問題都不是簡單地去求一個或者幾個固定不變的數值，而是要求一個或者幾個未知的函數。

解這類問題的基本思想和初等數學解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問題中已知函數和未知函數之間的關系找出來，從列出的包含未知函數的一個或幾個方程中去求得未知函數的表達式。但是無論在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質等方面，都和初等數學中的解方程有許多不同的地方。

在數學上，解這類方程，要用到微分和導數的知識。因此，凡是表示未知函數的導數以及自變量之間的關系的方程，就叫做微分方程。

微分方程差不多是和微積分同時先后產生的，蘇格蘭數學家耐普爾創立對數的時候，就討論過微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數來求解。后來瑞士數學家雅各布·貝努利、歐拉、法國數學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。

常微分方程的形成與發展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術的發展密切相關的。數學的其他分支的新發展，如復變函數、李群、組合拓撲學等，都對常微分方程的發展產生了深刻的影響，當前計算機的發展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具。

牛頓研究天體力學和機械力學的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規律。后來，法國天文學家勒維烈和英國天文學家亞當斯使用微分方程各自計算出那時尚未發現的海王星的位置。這些都使數學家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大力量。

微分方程的理論逐步完善的時候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規律，只要列出相應的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的數學分支。

常微分方程的內容

如果在一個微分方程中出現的未知函數只含一個自變量，這個方程就叫做常微分方程，也可以簡單地叫做微分方程。

一般地說，n 階微分方程的解含有 n個任意常數。也就是說，微分方程的解中含有任意常數的個數和方程的解數相同，這種解叫做微分方程的通解。通解構成一個函數族。

如果根據實際問題要求出其中滿足某種指定條件的解來，那么求這種解的問題叫做定解問題，對于一個常微分方程的滿足定解條件的解叫做特解。對于高階微分方程可以引入新的未知函數，把它化為多個一階微分方程組。

常微分方程的特點

常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關幾點簡述一下，以了解常微分方程的特點。

求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標，一旦求出通解的表達式，就容易從中得到問題所需要的特解。也可以由通解的表達式，了解對某些參數的依賴情況，便于參數取值適宜，使它對應的解具有所需要的性能，還有助于進行關于解的其他研究。

后來的發展表明，能夠求出通解的情況不多，在實際應用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解。當然，通解是有助于研究解的屬性的，但是人們已把研究重點轉移到定解問題上來。

一個常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有幾個呢？這是微分方程論中一個基本的問題，數學家把它歸納成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因為如果沒有解，而我們要去求解，那是沒有意義的；如果有解而又不是唯一的，那又不好確定。因此，存在和唯一性定理對于微分方程的求解是十分重要的。

大部分的常微分方程求不出十分精確的解，而只能得到近似解。當然，這個近似解的精確程度是比較高的。另外還應該指出，用來描述物理過程的微分方程，以及由試驗測定的初始條件也是近似的，這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決。

現在，常微分方程在很多學科領域內有著重要的應用，自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩定性的研究、化學反應過程穩定性的研究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質的問題。應該說，應用常微分方程理論已經取得了很大的成就，但是，它的現有理論也還遠遠不能滿足需要，還有待于進一步的發展，使這門學科的理論更加完善。

非歐幾何

非歐幾何的來源

非歐幾何學是一門大的數學分支，一般來講 ，他有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾里的幾何學不同的幾何學，狹義的非歐幾何只是指羅式幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅式幾何和黎曼幾何這兩種幾何。

歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設，長期以來，數學家們發現第五公設和前四個公設比較起來，顯得文字敘述冗長，而且也不那么顯而易見。

有些數學家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書中直到第二十九個命題中才用到，而且以后再也沒有使用。也就是說，在《幾何原本》中可以不依靠第五公設而推出前二十八個命題。

因此，一些數學家提出，第五公設能不能不作為公設，而作為定理？能不能依靠前四個公設來證明第五公設？這就是幾何發展史上最著名的，爭論了長達兩千多年的關于“平行線理論”的討論。

由于證明第五公設的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對不對？第五公設到底能不能證明？[推薦]數學各個研究方向簡介

到了十九世紀二十年代，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中，他走了另一條路子。他提出了一個和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來代替第五公設，然后與歐式幾何的前四個公設結合成一個公理系統，展開一系列的推理。他認為如果這個系統為基礎的推理中出現矛盾，就等于證明了第五公設。我們知道，這其實就是數學中的反證法。

但是，在他極為細致深入的推理過程中，得出了一個又一個在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題。最后，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論：

第一，第五公設不能被證明。

第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，并形成了新的理論。這個理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學。

這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學。

從羅巴切夫斯基創立的非歐幾何學中，可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結論：邏輯上互不矛盾的一組假設都有可能提供一種幾何學。

幾乎在羅巴切夫斯基創立非歐幾何學的同時，匈牙利數學家鮑耶·雅諾什也發現了第五公設不可證明和非歐幾何學的存在。鮑耶在研究非歐幾何學的過程中也遭到了家庭、社會的冷漠對待。他的父親——數學家鮑耶·法爾卡什認為研究第五公設是耗費精力勞而無功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶·雅諾什堅持為發展新的幾何學而辛勤工作。終于在1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形式發表了研究結果。

那個時代被譽為“數學王子”的高斯也發現第五公設不能證明，并且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害，不敢公開發表自己的研究成果，只是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。

羅式幾何

羅式幾何學的公理系統和歐式幾何學不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，經過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內容不同的新的幾何命題。

我們知道，羅式幾何除了一個平行公理之外采用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅式幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，再羅式幾何中都不成立，他們都相應地含有新的意義。下面舉幾個例子加以說明：

歐式幾何

同一直線的垂線和斜線相交。

垂直于同一直線的兩條直線或向平行。　

存在相似的多邊形。

過不在同一直線上的三點可以做且僅能做一個圓。

羅式幾何

同一直線的垂線和斜線不一定相交。

垂直于同一直線的兩條直線，當兩端延長的時候，離散到無窮。

不存在相似的多邊形。

過不在同一直線上的三點，不一定能做一個圓。

從上面所列舉得羅式幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習慣的直觀形象有矛盾。所以羅式幾何中的一些幾何事實沒有象歐式幾何那樣容易被接受。但是，數學家們經過研究，提出可以用我們習慣的歐式幾何中的事實作一個直觀“模型”來解釋羅式幾何是正確的。

1868年，意大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現。這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。

人們既然承認歐幾里是沒有矛盾的，所以也就自然承認非歐幾何沒有矛盾了。直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創性研究也就由此得到學術界的高度評價和一致贊美，他本人則被人們贊譽為“幾何學中的哥白尼”。

黎曼幾何

歐氏幾何與羅氏幾何中關于結合公理、順序公理、連續公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”。羅氏幾何講“過直線外一點至少存在兩條直線和已知直線平行”。那么是否存在這樣的幾何“過直線外一點，不能做直線和已知直線平行”？黎曼幾何就回答了這個問題。

黎曼幾何是德國數學家黎曼創立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作為基礎的假設》中明確的提出另一種幾何學的存在，開創了幾何學的一片新的廣闊領域。

黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限演唱，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當“改進”的球面。

近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論里，愛因斯坦放棄了關于時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。

此外，黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎，也應用在微分方程、變分法和復變函數論等方面。

三種幾何的關系

歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此這三種幾何都是正確的。

在我們這個不大不小、不遠不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。

計算數學

什么是計算數學

現代的科學技術發展十分迅速，他們有一個共同的特點，就是都有大量的數據問題。

比如，發射一顆探測宇宙奧秘的衛星，從衛星世紀開始到發射、回收為止，科學家和工程技術人員、工人就要對衛星的總體、部件進行全面的設計和生產，要對選用的火箭進行設計和生產，這里面就有許許多多的數據要進行準確的計算。發射和回收的時候，又有關于發射角度、軌道、遙控、回收下落角度等等需要進行精確的計算。

有如，在高能加速器里進行高能物理試驗，研究具有很高能量的基本粒子的性質、它們之間的相互作用和轉化規律，這里面也有大量的數據計算問題。

計算問題可以數是現代社會各個領域普遍存在的共同問題，工業、農業、交通運輸、醫療衛生、文化教育等等，那一行那一業都有許多數據需要計算，通過數據分析，以便掌握事物發展的規律。

研究計算問題的解決方法和有關數學理論問題的一門學科就叫做計算數學。

計算數學屬于應用數學的范疇，它主要研究有關的數學和邏輯問題怎樣由計算機加以有效解決。

計算數學的內容

計算數學也叫做數值計算方法或數值分析。主要內容包括代數方程、線性代數方程組、微分方程的數值解法，函數的數值逼近問題，矩陣特征值的求法，最優化計算問題，概率統計計算問題等等，還包括解的存在性、唯一性、收斂性和誤差分析等理論問題。

我們知道五次及五次以上的代數方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代數方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是數值分析的方法。對于一般的超越方程，如對數方程、三角方程等等也只能采用數值分析的辦法。怎樣找出比較簡潔、誤差比較小、花費時間比較少的計算方法是數值分析的主要課題。

在求解方程的辦法中，常用的辦法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。迭代法的計算是比較簡單的，是比較容易進行的。迭代法還可以用來求解線性方程組的解。求方程組的近似解也要選擇適當的迭代公式，使得收斂速度快，近似誤差小。

在線性代數方程組的解法中，常用的有塞德爾迭代法、共軛斜量法、超松弛迭代法等等。此外，一些比較古老的普通消去法，如高斯法、追趕法等等，在利用計算機的條件下也可以得到廣泛的應用。

在計算方法中，數值逼近也是常用的基本方法。數值逼近也叫近似代替，就是用簡單的函數去代替比較復雜的函數，或者代替不能用解析表達式表示的函數。數值逼近的基本方法是插值法。初等數學里的三角函數表，對數表中的修正值，就是根據插值法制成的。

在遇到求微分和積分的時候，如何利用簡單的函數去近似代替所給的函數，以便容易求到和求積分，也是計算方法的一個主要內容。微分方程的數值解法也是近似解法。常微分方程的數值解法由歐拉法、預測校正法等。偏微分方程的初值問題或邊值問題，目前常用的是有限差分法、有限元素法等。

有限差分法的基本思想是用離散的、只含有限個未知數的差分方程去代替連續變量的微分方程和定解條件。求出差分方程的解法作為求偏微分方程的近似解。

有限元素法是近代才發展起來的，它是以變分原理和剖分差值作為基礎的方法。在解決橢圓形方程邊值問題上得到了廣泛的應用。穆恰，有許多人正在研究用有限元素法來解雙曲形和拋物形的方程。

計算數學的內容十分豐富，它在科學技術中正發揮著越來越大的作用。

運籌學

分形幾何

分形幾何的產生

客觀自然界中許多事物，具有自相似的“層次”結構，在理想情況下，甚至具有無窮層次。適當的放大或縮小幾何尺寸，整個結構并不改變。不少復雜的物理現象，背后就是反映著這類層次結構的分形幾何學。

客觀事物有它自己的特征長度，要用恰當的尺度去測量。用尺來測量萬里長城，嫌太短；用尺來測量大腸桿菌，又嫌太長。從而產生了特征長度。還有的事物沒有特征尺度，就必須同時考慮從小到大的許許多多尺度（或者叫標度），這叫做“無標度性”的問題。

如物理學中的湍流，湍流是自然界中普遍現象，小至靜室中繚繞的輕煙，巨至木星大氣中的渦流，都是十分紊亂的流體運動。流體宏觀運動的能量，經過大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最后轉化成分子尺度上的熱運動，同時涉及大量不同尺度上的運動狀態，就要借助“無標度性”解決問題，湍流中高漩渦區域，就需要用分形幾何學。

在二十世紀七十年代，法國數學家曼德爾勃羅特在他的著作中探討了英國的海岸線有多長？這個問題這依賴于測量時所使用的尺度。

如果用公里作測量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會被忽略；改用米來做單位，測得的總長度會增加，但是一些厘米量級以下的就不能反映出來。由于漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規則性。海岸線在大小兩個方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個突出的點，用直線把它們連起來，得到海岸線長度的一種下界。使用比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒有意義的。在這兩個自然限度之間，存在著可以變化許多個數量級的“無標度”區，長度不是海岸線的定量特征，就要用分維。

數學家寇赫從一個正方形的“島”出發，始終保持面積不變，把它的“海岸線”變成無限曲線，其長度也不斷增加，并趨向于無窮大。以后可以看到，分維才是“寇赫島”海岸線的確切特征量，即海岸線的分維均介于1到2之間。

這些自然現象，特別是物理現象和分形有著密切的關系，銀河系中的若斷若續的星體分布，就具有分維的吸引子。多孔介質中的流體運動和它產生的滲流模型，都是分形的研究對象。這些促使數學家進一步的研究，從而產生了分形幾何學。

電子計算機圖形顯示協助了人們推開分形幾何的大門。這座具有無窮層次結構的宏偉建筑，每一個角落里都存在無限嵌套的迷宮和回廊，促使數學家和科學家深入研究。

法國數學家曼德爾勃羅特這位計算機和數學兼通的人物，對分形幾何產生了重大的推動作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本書，特別是《分形——形、機遇和維數》以及《自然界中的分形幾何學》，開創了新的數學分支——分形幾何學。

分形幾何的內容

分形幾何學的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結構，局部與整體在形態、功能、信息、時間、空間等方面具有統計意義上的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結構，適當的放大或縮小幾何尺寸，整個結構不變。

維數是幾何對象的一個重要特征量，它是幾何對象中一個點的位置所需的獨立坐標數目。在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認為點是零維的，還可以引入高維空間，對于更抽象或更復雜的對象，只要每個局部可以和歐氏空間對應，也容易確定維數。但通常人們習慣于整數的維數。

分形理論認為維數也可以是分數，這類維數是物理學家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規則”程度，1919年，數學家從測度的角度引入了維數概念，將維數從整數擴大到分數，從而突破了一般拓撲集維數為整數的界限。

維數和測量有著密切的關系，下面我們舉例說明一下分維的概念。

當我們畫一根直線，如果我們用 0維的點來量它，其結果為無窮大，因為直線中包含無窮多個點；如果我們用一塊平面來量它，其結果是 0，因為直線中不包含平面。那么，用怎樣的尺度來量它才會得到有限值哪？看來只有用與其同維數的小線段來量它才會得到有限值，而這里直線的維數為 1(大于0、小于2)。

對于我們上面提到的“寇赫島”曲線，其整體是一條無限長的線折疊而成，顯然，用小直線段量，其結果是無窮大，而用平面量，其結果是 0(此曲線中不包含平面)，那么只有找一個與“寇赫島”曲線維數相同的尺子量它才會得到有限值，而這個維數顯然大于 1、小于 2，那么只能是小數了，所以存在分維。經過計算“寇赫島”曲線的維數是1.2618……。

分形幾何學的應用

分形幾何學已在自然界與物理學中得到了應用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的一粒花粉，會看見它不間斷地作無規則運動(布朗運動)，這是花粉在大量液體分子的無規則碰撞(每秒鐘多達十億億次)下表現的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的分辨率，就可以發現原以為是直線段的部分，其實由大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續，但又處處無導數的曲線。這種布朗粒子軌跡的分維是 2，大大高于它的拓撲維數 1

在某些電化學反應中，電極附近成績的固態物質，以不規則的樹枝形狀向外增長。受到污染的一些流水中，粘在藻類植物上的顆粒和膠狀物，不斷因新的沉積而生長，成為帶有許多須須毛毛的枝條狀，就可以用分維。

自然界中更大的尺度上也存在分形對象。一枝粗干可以分出不規則的枝杈，每個枝杈繼續分為細杈……，至少有十幾次分支的層次，可以用分形幾何學去測量。

有人研究了某些云彩邊界的幾何性質，發現存在從 1公里到1000公里的無標度區。小于 1公里的云朵，更受地形概貌影響，大于1000公里時，地球曲率開始起作用。大小兩端都受到一定特征尺度的限制，中間有三個數量級的無標度區，這已經足夠了。分形存在于這中間區域。

近幾年在流體力學不穩定性、光學雙穩定器件、化學震蕩反映等試驗中，都實際測得了混沌吸引子，并從實驗數據中計算出它們的分維。學會從實驗數據測算分維是最近的一大進展。分形幾何學在物理學、生物學上的應用也正在成為有充實內容的研究領域。

突變理論

突變理論是20世紀70年代發展起來的一個新的數學分支。

突變理論的產生

許多年來，自然界許多事物的連續的、漸變的、平滑的運動變化過程，都可以用微積分的方法給以圓滿解決。例如，地球繞著太陽旋轉，有規律地周而復始地連續不斷進行，使人能及其精確地預測未來的運動狀態，這就需要運用經典的微積分來描述。

但是，自然界和社會現象中，還有許多突變和飛躍的過程，飛越造成的不連續性把系統的行為空間變成不可微的，微積分就無法解決。例如，水突然沸騰，冰突然融化，火山爆發，某地突然地震，房屋突然倒塌，病人突然死亡……。

這種由漸變、量變發展為突變、質變的過程，就是突變現象，微積分是不能描述的。以前科學家在研究這類突變現象時遇到了各式各樣的困難，其中主要困難就是缺乏恰當的數學工具來提供描述它們的數學模型。那么，有沒有可能建立一種關于突變現象的一般性數學理論來描述各種飛躍和不連續過程呢？這迫使數學家進一步研究描述突變理論的飛躍過程，研究不連續性現象的數學理論。

1972年法國數學家雷內·托姆在《結構穩定性和形態發生學》一書中，明確地闡明了突變理論，宣告了突變理論的誕生。

突變理論的內容

突變理論主要以拓撲學為工具，以結構穩定性理論為基礎，提出了一條新的判別突變、飛躍的原則：在嚴格控制條件下，如果質變中經歷的中間過渡態是穩定的，那么它就是一個漸變過程。

比如拆一堵墻，如果從上面開始一塊塊地把磚頭拆下來，整個過程就是結構穩定的漸變過程。如果從底腳開始拆墻，拆到一定程度，就會破壞墻的結構穩定性，墻就會嘩啦一聲，倒塌下來。這種結構不穩定性就是突變、飛躍過程。又如社會變革，從封建社會過渡到資本主義社會，法國大革命采用暴力來實現，而日本的明治維新就是采用一系列改革，以漸變方式來實現。

對于這種結構的穩定與不穩定現象，突變理論用勢函數的洼存在表示穩定，用洼取消表示不穩定，并有自己的一套運算方法。例如，一個小球在洼底部時是穩定的，如果把它放在突起頂端時是不穩定的，小球就會從頂端處，不穩定滾下去，往新洼地過渡，事物就發生突變；當小球在新洼地底處，又開始新的穩定，所以勢函數的洼存在與消失是判斷事物的穩定性與不穩定性、漸變與突變過程的根據。

托姆的突變理論，就是用數學工具描述系統狀態的飛躍，給出系統處于穩定態的參數區域，參數變化時，系統狀態也隨著變化，當參數通過某些特定位置時，狀態就會發生突變。

突變理論提出一系列數學模型，用以解是自然界和社會現象中所發生的不連續的變化過程，描述各種現象為何從形態的一種形式突然地飛躍到根本不同的另一種形式。如巖石的破裂，橋梁的斷裂，細胞的分裂，胚胎的變異，市場的破壞以及社會結構的激變……。

按照突變理論，自然界和社會現象中的大量的不連續事件，可以由某些特定的幾何形狀來表示。托姆指出，發生在三維空間和一維空間的四個因子控制下的突變，有七種突變類型：折迭突變、尖頂突變、燕尾突變、蝴蝶突變、雙曲臍突變、橢圓臍形突變以及拋物臍形突變。

例如，用大拇指和中指夾持一段有彈性的鋼絲，使其向上彎曲，然后再用力壓鋼絲使其變形，當達到一定程度時，鋼絲會突然向下彎曲，并失去彈性。這就是生活中常見的一種突變現象，它有兩個穩定狀態：上彎和下彎，狀態由兩個參數決定，一個是手指夾持的力(水平方向)，一個是鋼絲的壓力(垂直方向)，可用尖頂突變來描述。

尖頂突變和蝴蝶突變是幾種質態之間能夠進行可逆轉的模型。自然界還有些過程是不可逆的，比如死亡是一種突變，活人可以變成死人，反過來卻不行。這一類過程可以用折迭突變、燕尾突變等時函數最高奇次的模型來描述。所以，突變理論是用形象而精確的得數學模型來描述質量互變過程。

英國數學家奇曼教授稱突變理論是“數學界的一項智力革命——微積分后最重要的發現”。他還組成一個研究團體，悉心研究，擴展應用。短短幾年，論文已有四百多篇，可成為盛極一時，托姆為此成就而榮獲當前國際數學界的最高獎——菲爾茲獎。

突變理論的應用

突變理論在在自然科學的應用是相當廣泛的。在物理學研究了相變、分叉、混沌與突變的關系，提出了動態系統、非線性力學系統的突變模型，解釋了物理過程的可重復性是結構穩定性的表現。在化學中，用蝴蝶突變描述氫氧化物的水溶液，用尖頂突變描述水的液、氣、固的變化等。在生態學中研究了物群的消長與生滅過程，提出了根治蝗蟲的模型與方法。在工程技術中，研究了彈性結構的穩定性，通過橋梁過載導致毀壞的實際過程，提出最優結構設計……。

突變理論在社會現象的一個用歸納為某種量的突變問題，人們施加控制因素影響社會狀態是有一定條件的，只有在控制因素達到臨界點之前，狀態才是可以控制的。一旦發生根本性的質變，它就表現為控制因素所無法控制的突變過程。還可以用突變理論對社會進行高層次的有效控制，為此就需要研究事物狀態與控制因素之間的相互關系，以及穩定區域、非穩定區域、臨界曲線的分布特點，還要研究突變的方向與幅度。

模糊數學

二十世紀六十年代，產生了模糊數學這門新興學科。

模糊數學的產生

現代數學是建立在集合論的基礎上。集合論的重要意義就一個側面看，在與它把數學的抽象能力延伸到人類認識過程的深處。一組對象確定一組屬性，人們可以通過說明屬性來說明概念（內涵），也可以通過指明對象來說明它。符合概念的那些對象的全體叫做這個概念的外延，外延其實就是集合。從這個意義上講，集合可以表現概念，而集合論中的關系和運算又可以表現判斷和推理，一切現實的理論系統都一可能納入集合描述的數學框架。

但是，數學的發展也是階段性的。經典集合論只能把自己的表現力限制在那些有明確外延的概念和事物上，它明確地限定：每個集合都必須由明確的元素構成，元素對集合的隸屬關系必須是明確的，決不能模棱兩可。對于那些外延不分明的概念和事物，經典集合論是暫時不去反映的，屬于待發展的范疇。

在較長時間里，精確數學及隨機數學在描述自然界多種事物的運動規律中，獲得顯著效果。但是，在客觀世界中還普遍存在著大量的模糊現象。以前人們回避它，但是，由于現代科技所面對的系統日益復雜，模糊性總是伴隨著復雜性出現。

各門學科，尤其是人文、社會學科及其它“軟科學”的數學化、定量化趨向把模糊性的數學處理問題推向中心地位。更重要的是，隨著電子計算機、控制論、系統科學的迅速發展，要使計算機能像人腦那樣對復雜事物具有識別能力，就必須研究和處理模糊性。

我們研究人類系統的行為，或者處理可與人類系統行為相比擬的復雜系統，如航天系統、人腦系統、社會系統等，參數和變量甚多，各種因素相互交錯，系統很復雜，它的模糊性也很明顯。從認識方面說，模糊性是指概念外延的不確定性，從而造成判斷的不確定性。

在日常生活中，經常遇到許多模糊事物，沒有分明的數量界限，要使用一些模糊的詞句來形容、描述。比如，比較年輕、高個、大胖子、好、漂亮、善、熱、遠……。在人們的工作經驗中，往往也有許多模糊的東西。例如，要確定一爐鋼水是否已經煉好，除了要知道鋼水的溫度、成分比例和冶煉時間等精確信息外，還需要參考鋼水顏色、沸騰情況等模糊信息。因此，除了很早就有涉及誤差的計算數學之外，還需要模糊數學。

人與計算機相比，一般來說，人腦具有處理模糊信息的能力，善于判斷和處理模糊現象。但計算機對模糊現象識別能力較差，為了提高計算機識別模糊現象的能力，就需要把人們常用的模糊語言設計成機器能接受的指令和程序，以便機器能像人腦那樣簡潔靈活的做出相應的判斷，從而提高自動識別和控制模糊現象的效率。這樣，就需要尋找一種描述和加工模糊信息的數學工具，這就推動數學家深入研究模糊數學。所以，模糊數學的產生是有其科學技術與數學發展的必然性。

模糊數學的研究內容

1965年，美國控制論專家、數學家查德發表了論文《模糊集合》，標志著模糊數學這門學科的誕生。

模糊數學的研究內容主要有以下三個方面：

第一，研究模糊數學的理論，以及它和精確數學、隨機數學的關系。察德以精確數學集合論為基礎，并考慮到對數學的集合概念進行修改和推廣。他提出用“模糊集合”作為表現模糊事物的數學模型。并在“模糊集合”上逐步建立運算、變換規律，開展有關的理論研究，就有可能構造出研究現實世界中的大量模糊的數學基礎，能夠對看來相當復雜的模糊系統進行定量的描述和處理的數學方法。

在模糊集合中，給定范圍內元素對它的隸屬關系不一定只有“是”或“否”兩種情況，而是用介于0和1之間的實數來表示隸屬程度，還存在中間過渡狀態。比如“老人”是個模糊概念，70歲的肯定屬于老人，它的從屬程度是 1，40歲的人肯定不算老人，它的從屬程度為 0，按照查德給出的公式，55歲屬于“老”的程度為0.5，即“半老”，60歲屬于“老”的程度0.8。查德認為，指明各個元素的隸屬集合，就等于指定了一個集合。當隸屬于0和1之間值時，就是模糊集合。

第二，研究模糊語言學和模糊邏輯。人類自然語言具有模糊性，人們經常接受模糊語言與模糊信息，并能做出正確的識別和判斷。

為了實現用自然語言跟計算機進行直接對話，就必須把人類的語言和思維過程提煉成數學模型，才能給計算機輸入指令，建立和是的模糊數學模型，這是運用數學方法的關鍵。查德采用模糊集合理論來建立模糊語言的數學模型，使人類語言數量化、形式化。

如果我們把合乎語法的標準句子的從屬函數值定為1，那么，其他文法稍有錯誤，但尚能表達相仿的思想的句子，就可以用以0到1之間的連續數來表征它從屬于“正確句子”的隸屬程度。這樣，就把模糊語言進行定量描述，并定出一套運算、變換規則。目前，模糊語言還很不成熟，語言學家正在深入研究。

人們的思維活動常常要求概念的確定性和精確性，采用形式邏輯的排中律，既非真既假，然后進行判斷和推理，得出結論。現有的計算機都是建立在二值邏輯基礎上的，它在處理客觀事物的確定性方面，發揮了巨大的作用，但是卻不具備處理事物和概念的不確定性或模糊性的能力。

為了使計算機能夠模擬人腦高級智能的特點，就必須把計算機轉到多值邏輯基礎上，研究模糊邏輯。目前，模糊羅基還很不成熟，尚需繼續研究。

第三，研究模糊數學的應用。模糊數學是以不確定性的事物為其研究對象的。模糊集合的出現是數學適應描述復雜事物的需要，查德的功績在于用模糊集合的理論找到解決模糊性對象加以確切化，從而使研究確定性對象的數學與不確定性對象的數學溝通起來，過去精確數學、隨機數學描述感到不足之處，就能得到彌補。在模糊數學中，目前已有模糊拓撲學、模糊群論、模糊圖論、模糊概率、模糊語言學、模糊邏輯學等分支。

模糊數學的應用

模糊數學是一門新興學科，它已初步應用于模糊控制、模糊識別、模糊聚類分析、模糊決策、模糊評判、系統理論、信息檢索、醫學、生物學等各個方面。在氣象、結構力學、控制、心理學等方面已有具體的研究成果。然而模糊數學最重要的應用領域是計算機職能，不少人認為它與新一代計算機的研制有密切的聯系。

目前，世界上發達國家正積極研究、試制具有智能化的模糊計算機，1986年日本山川烈博士首次試制成功模糊推理機，它的推理速度是1000萬次/秒。1988年，我國汪培莊教授指導的幾位博士也研制成功一臺模糊推理機——分立元件樣機，它的推理速度為1500萬次/秒。這表明我國在突破模糊信息處理難關方面邁出了重要的一步。

模糊數學還遠沒有成熟，對它也還存在著不同的意見和看法，有待實踐去檢驗。

偏微分方程

偏微分方程的起源 如果一個微分方程中出現的未知函數只含一個自變量，這個方程叫做常微分方程，也簡稱 微分方程；如果一個微分方程中出現多元函數的偏導數，或者說如果未知函數和幾個變量 有關，而且方程中出現未知函數對幾個變量的導數，那么這種微分方程就是偏微分方程。

在科學技術日新月異的發展過程中，人們研究的許多問題用一個自變量的函數來描述已經 顯得不夠了，不少問題有多個變量的函數來描述。比如，從物理角度來說，物理量有不同 的性質，溫度、密度等是用數值來描述的叫做純量；速度、電場的引力等，不僅在數值上 有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點上的張力狀態的描述出的量叫做 張量，等等。這些量不僅和時間有關系，而且和空間坐標也有聯系，這就要用多個變量的 函數來表示。

應該指出，對于所有可能的物理現象用某些多個變量的函數表示，只能是理想化的，如介 質的密度，實際上“在一點”的密度是不存在的。而我們把在一點的密度看作是物質的質量 和體積的比當體積無限縮小的時候的極限，這就是理想化的。介質的溫度也是這樣。這樣 就產生了研究某些物理現象的理想了的多個變量的函數方程，這種方程就是偏微分方程。

微積分方程這門學科產生于十八世紀，歐拉在他的著作中最早提出了弦振動的二階方程， 隨后不久，法國數學家達朗貝爾也在他的著作《論動力學》中提出了特殊的偏微分方程。這些著作當時沒有引起多大注意。1746年，達朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動時形成的 曲線的研究》中，提議證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式。這樣就由對弦 振動的研究開創了偏微分方程這門學科。

和歐拉同時代的瑞士數學家丹尼爾·貝努利也研究了數學物理方面的問題， 提出了解彈性系 振動問題的一般方法，對偏微分方程的發展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏 微分方程，豐富了這門學科的內容。

偏微分方程得到迅速發展是在十九世紀，那時候，數學物理問題的研究繁榮起來了，許多 數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。這里應該提一提法國數學家傅立葉，他年輕 的時候就是一個出色的數學學者。在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》 ，在 文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發 展的影響是很大的。

偏微分方程的內容

偏微分方程是什么樣的？它包括哪些內容？這里我們可從一個例子的研究加以介紹。

弦振動是一種機械運動，當然機械運動的基本定律是質點力學的 F=ma，但是弦并不是質 點，所以質點力學的定律并不適用在弦振動的研究上。然而，如果我們把弦細細地分成若 干個極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個質點，這樣我們就可以應用質點力學的 基本定律了。

弦是指又細又長的彈性物質，比如弦樂器所用的弦就是細長的、柔軟的、帶有彈性的。演 奏的時候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬倍。當演奏的人用薄 片撥動或者用弓在弦上拉動，雖然只因其所接觸的一段弦振動，但是由于張力的作用，傳 播到使整個弦振動起來。

用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變量的偏微分 方程。偏方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏 微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型 偏微分方程。

偏微分方程的解一般有無窮多個，但是解決具體的物理問題的時候，必須從中選取所需要 的解，因此，還必須知道附加條件。因為偏微分方程是同一類現象的共同規律的表示式， 僅僅知道這種共同規律還不足以掌握和了解具體問題的特殊性，所以就物理現象來說，各 個具體問題的特殊性就在于研究對象所處的特定條件，就是初始條件和邊界條件。

拿上面所舉的弦振動的例子來說，對于同樣的弦的弦樂器，如果一種是以薄片撥動弦，另 一種是以弓在弦上拉動， 那么它們發出的聲音是不同的。原因就是由于“撥動”或“拉動”的那 個“初始”時刻的振動情況不同，因此產生后來的振動情況也就不同。

天文學中也有類似情況，如果要通過計算預言天體的運動，必須要知道這些天體的質量， 同時除了牛頓定律的一般公式外，還必須知道我們所研究的天體系統的初始狀態，就是在 某個起始時間，這些天體的分布以及它們的速度。在解決任何數學物理方程的時候，總會 有類似的附加條件。

就弦振動來說，弦振動方程只表示弦的內點的力學規律，對弦的端點就不成立，所以在弦 的兩端必須給出邊界條件，也就是考慮研究對象所處的邊界上的物理狀況。邊界條件也叫 做邊值問題。當然，客觀實際中也還是有“沒有初始條件的問題” 如定場問題（靜電場、穩定濃度分布、 ， 穩定溫度分布等） ，也有“沒有邊界條件的問題” 如著重研究不靠近兩端的那段弦，就抽象 ， 的成為無邊界的弦了。在數學上，初始條件和邊界條件叫做定解條件。偏微分方程本身是表達同一類物理現象的 共性，是作為解決問題的依據；

定解條件卻反映出具體問題的個性，它提出了問題的具體 情況。方程和定解條件合而為一體，就叫做定解問題。

求偏微分方程的定解問題可以先求出它的通解，然后再用定解條件確定出函數。但是一般 來說，在實際中通解是不容易求出的，用定解條件確定函數更是比較困難的。

偏微分方程的解法還可以用分離系數法，也叫做傅立葉級數；還可以用分離變數法，也叫 做傅立葉變換或傅立葉積分。分離系數法可以求解有界空間中的定解問題，分離變數法可 以求解無界空間的定解問題；也可以用拉普拉斯變換法去求解一維空間的數學物理方程的 定解。對方程實行拉普拉斯變換可以轉化成常微分方程，而且初始條件也一并考慮到，解 出常微分方程后進行反演就可以了。

應該指出，偏微分方程的定解雖然有以上各種解法，但是我們不能忽視由于某些原因有許 多定解問題是不能嚴格解出的，只可以用近似方法求出滿足實際需要的近似程度的近似 解。

常用的方法有變分法和有限差分法。變分法是把定解問題轉化成變分問題，再求變分問題 的近似解；有限差分法是把定解問題轉化成代數方程，然后用計算機進行計算；還有一種 更有意義的模擬法，它用另一個物理的問題實驗研究來代替所研究某個物理問題的定解。雖然物理現象本質不同，但是抽象地表示在數學上是同一個定解問題，如研究某個不規則 形狀的物體里的穩定溫度分布問題，在數學上是拉普拉斯方程的邊值問題，由于求解比較 困難，可作相應的靜電場或穩恒電流場實驗研究，測定場中各處的電勢，從而也解決了所 研究的穩定溫度場中的溫度分布問題。

隨著物理科學所研究的現象在廣度和深度兩方面的擴展，偏微分方程的應用范圍更廣泛。從數學自身的角度看，偏微分方程的求解促使數學在函數論、變分法、級數展開、常微分 方程、代數、微分幾何等各方面進行發展。從這個角度說，偏微分方程變成了數學的中心。

篇幅有限，還有一些大的數學分支尚未介紹，比如 分析學（實分析，復分析，調和分析），隨機數學等，具體到應用數學的二級分支，均未涉及到。

注：本文轉載自公眾號“算法與數學之美”