圓內接三角形性質(為什么內接三角形必有一個直角)

應該是以直徑為斜邊的直角三角形，因為直徑對應的圓周角為90度，所以是直角三角形

1.牛頓線：完全四邊形三條對角線中點共線。

2.九點圓：在任意的三角形中，三邊的中點、三條高的垂足、三條高的交點(垂心)與三角形頂點連線的中點，這九個點共圓，通常稱這個圓為九點圓（nine-point circle）

3.歐拉線:三角形的外心、重心、垂心、九點圓圓心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線，且外心到重心的距離等于垂心到重心距離的一半。

4.帕斯卡定理：圓內內接六邊形（包括退化的六邊形）其三對邊的交點共線。

5.西姆松定理：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線上的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）

6.泰勒圓：三角形每條邊上的高線的垂足在另兩邊上的射影，共有六點，必在同一圓周上，這個圓叫做三角形的泰勒圓(Taylor's circle)

7.曼海姆定理：一圓分別與三角形ABC的外接圓⊙O和直線AB,AC相切于D,P,Q，則PQ中點為三角形ABC的內心或旁心。若它與外接圓內切，即為內心；外切即為旁心。

8.蒙日定理：平面上任意三個圓，若這三個圓圓心不共線，則三條根軸相交于一點，這個點叫它們的根心；若三圓圓心共線且不為同心圓，則三條根軸互相平行。

9.婆羅摩笈多定理：若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊。

這些都是數學競賽中非常經典的幾何定理，大部分都不難證明，大家可以自己試一試。

三角形中，三個角的角平分線的交點是內切圓的圓心，圓心到三角形各個邊的垂線段相等。內切圓的半徑為r=2S/C=S/p，當中S表示三角形的面積，C表示三角形的周長，p表示三角形的半周長。若以三角形的內切圓為反演圓進行反演，則三角形的三條邊和外接圓會分別變為半徑相等的四個圓。

在直角三角形的內切圓中，有兩個簡便公式：

1、兩直角邊相加的和減去斜邊后除以2，得數是內切圓的半徑。r=(a+b-c)/2（注：r是Rt△內切圓的半徑，a, b是Rt△的2個直角邊，c是斜邊）。

2、兩直角邊乘積除以直角三角形周長，得數是內切圓的半徑。r=ab/ (a+b+c)。

公式:三角形面積=三角形邊長之和乘以內切圓半徑之積的一半周長一半=面積除以內切圓半徑

三邊邊長是 a b c首先算出三角形半周長s=1/2(a+b+c) 那么面積S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 證明方法見參考資料大S是面積，小s是半周長過內接圓圓心，做三條邊得垂線，這三條線長度相同，都是半徑，r同時連接三個頂點和圓心，把三角形分成三個小三角形S=S1+S2+S3=1/2(ar)+1/2(br)+1/2(cr)=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2(a+b+c)r=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]sr=√s(s-a)(s-b)(s-c)]r=(s-a)(s-b)(s-c)/√s小s就是 1/2(a+b+c)這樣半徑就用 a b c表示出來了

圓內接三角形是三頂點在圓周上，而外接三角形是邊上切點在圓周上。兩個概念，內接和外接沒有必然關系。內接三角形只是頂點在園周上，可以無數，外接三角形是切點，切點連圓心垂直于邊，也可以無數。當然要是有特殊關系也可以，就在于你一定要指明條件。