感冒藥多少錢（我們能相信統計數據嗎）

一天深夜，一個社畜，完成了一天的工作，躑躅在深圳的街頭。就在距他100米的一個豪華酒店，人民富豪馬總正在里面觥籌交錯。就在這一刻，以這個社畜為圓心畫一個100米的圓，在這個圓內所有人的平均財富，一定是一個非常高的數字。那么，這一刻這個社畜的

一天深夜，一個社畜，完成了一天的工作，躑躅在深圳的街頭。就在距他100米的一個豪華酒店，人民富豪馬總正在里面觥籌交錯。就在這一刻，以這個社畜為圓心畫一個100米的圓，在這個圓內所有人的平均財富，一定是一個非常高的數字。那么，這一刻這個社畜的幸福感和獲得感是否會有提升呢？

這個段子告訴我們兩件事。一是，我們不能以個例來評價整個社會，比如這個社畜很疲憊，很沮喪，覺得沒有前途，不代表所有人都是如此，至少馬總不是，這時候我們需要統計數據；二是，統計數據也不一定靠譜，比如這個社畜的平均財富是如此之高，然而他的個人境遇并未因此有任何改變。

統計是門大學問。一方面，我們能夠通過統計數據看清社會的真實面目，另一方面，統計也能欺騙我們，我們往往會被刻意修飾過的統計數據所誤導。

美國作家達瑞爾·哈夫著《怎能利用統計撒謊》（初版于1954年），向我們揭示統計數據中的各種欺騙手法。書名直譯過來應該是《如何利用統計撒謊》（How to Lie with Statistics）。

這本書篇幅不長，也沒有什么高深的專業理論。作者以幽默的語言，豐富的例證，向我們揭示了統計中的那些花招。全書共10個小節，下面我們跟隨作者的思路，一起看看60多年前統計是怎么欺騙我們的。

1、有偏差的樣本

當統計者向我們展示一些統計數據時，我們首先要問的是，統計樣本是什么樣的狀況？有沒有代表性？

本書舉了一個很簡單的例子。《時代雜志》文章稱，1924級的耶魯大學畢業生一般年收入25111美元，這在1950年代是極高的收入了。

問題來了。25年前的畢業生，有多少人還能找到呢？那些人生失意者會回答這個問卷嗎？25年過去了，當年的畢業生，還會那么努力地回答問卷嗎？并且一定會如實填寫嗎？如果答卷，有些人由于虛榮心或者過于樂觀，會夸大自己的收入；還有一些人，由于稅務等原因，會刻意縮小自己的收入。這兩種情況分別占多大比例？

如果想獲得統計數據，因為調查成本的原因，或調查時限的原因，不可能調查所有人。這就需要抽樣調查。統計數字的質量依賴于樣本，也只能代表所調查樣本的情況。

毫無疑問，上面的數據來自這樣一些樣本，即當年全體畢業生中那些知道其住址，又肯提供答案的人，這些人可能是社會上的頭面人物。這個數字，如果是真實的，也只能代表1924級中那些知道地址而又愿意站起來報告他們掙多少錢的人。即便如此，也要假定這些人說的都是實話。

有雜志社想知道讀者都喜歡什么雜志，于是進行逐戶調查，結果顯示讀者喜歡《哈帕斯》而不是《真實的故事》，這與雜志社的發行量不符。問題在哪里呢？逐戶調查未必能了解到真實情況，因為讀者未必如實回答。更好的方法是到住戶家中收購舊雜志。當然，這也只能知道讀者有過什么，而不是他們現在喜歡什么。

河水不會高于源頭，抽樣調查的結果不會比樣本更好。抽樣調查過程可以完全符合已獲證明的數學原理，貌似很科學，然而只要精心選擇樣本，調查者總能得到自己想要的結果。

2、選擇得當的平均數

當我們獲知本地的人均年收入是X萬元時，假定我們相信統計者沒有作假的動機，數據真實可靠，那么這個年均收入對我們有多大參考意義？這個“平均”是哪種平均，算術平均，中位數，還是眾數？

一位地產商為了籠絡顧客，告訴他本地住戶年均收入1.5萬美元，是一個較好的社區。一年后，同一個人，現在是納稅委員會成員，向當局申請降低稅率，聲稱本地住戶年均收入僅3500美元。這兩個數字差別也太大了。哪個是準確的呢？可能都是。因為這兩個數字都是統計匯總的平均數。

我們經常會用到三種平均數：均值、中位數和眾數。

年收入1.5萬美元，可能是所有住戶的年收入（算術）平均值，即所有收入累加并除以住戶數。年收入3500美元，可能是所有住戶年收入的中位數，即一半的住戶在這個數字之上，另一半在這個數字之下；還可能是眾數，即最多的住戶是這個水平。

就是說，不加限定的平均數可能是沒有任何意義的。

某些數據會符合正態分布，在這種情況下，均值、中位數和眾數三者差別不大。然而，就小區住戶收入而言，可能并不如此。如果有某幾家住戶擁有高額財產，只是偶爾度假才在此居住，則可急劇拉高均值，然而并不會拉高中位數和眾數。

所以，當你獲知某公司年均收入多少，或某地、某國年均收入多少，首先要問，這個年均收入是哪個平均值，是均值，中位數，還是眾數？統計部門擁有詳盡的數據，他們有能力得到某項數據的各種平均值。如果他們發布了一項指標，而不說明是均值、中位數還是眾數，這值得你深思。

回應本文開頭的段子，如果計算以這個社畜為圓心的100米范圍內人群的收入水平，中位數或眾數更能反映真實情況。

3、沒有透露的小數字

偶爾，我們讀到一份報告，告知我們一點很有意思的信息。然而，報告中常常會有一些小數字，告知我們一些更有意思的信息：樣本數非常少，試驗只做了很少幾次，……，這往往是我們會忽略的。

某公司廣告稱使用他們的牙膏可使蛀牙減少23%。是不是覺得很不錯？然而，仔細閱讀廣告的小字說明，參加實驗的用戶只有12人。某牙粉廣告宣稱在治療齲齒方面相當成功。然而這個實驗只進行了6次，并且是先入為主的。醫藥界很多新藥都是如此炮制出來的，即只進行了較少的實驗。

怎樣識破這些花招呢？你并不需要成為統計專家。

有一個簡單易懂的顯著性檢驗法，這不過是一種說明實驗數據能夠在多大程度上代表真實情況，而不是某種偶然出現假象的方法，這就是查一查那些沒有透露的小數字。

表示這種顯著程度的最簡單的方法，就是概率。

對大多數用途來說，任何顯著水平達到5%就夠好了。而對某些用途來說，對顯著水平的要求是1%。

還有一種不公開的小數字，就是說明事物的范圍，或者與給出的平均數之間的離差的數據。

未透露的小數字的欺騙性在于它的失蹤經常無人察覺。

在《時代周刊》，1948年的一個電力公司的廣告上說：“現在美國四分之三以上的農場可以獲得電力……”。似乎很好。然而，這個“可以獲得”可以隨意接解釋，它并不意味著四分之三的農場已經獲得電力。這可能意味著電線經過他們的村莊，或者電線距他們不到10英里或100英里而已。

4、無事空忙

我們對數據進行比較時，如果兩個數據相差很小，因為數據測量本身就存在誤差，那么在統計意義上，這兩個數據實際上并沒有實質區別，完全不能說較低的數據就代表著較差的表現。這是我們需要警惕的。

比如，有兩個孩子，智商測試表明，彼得智商是98分，琳達是 101分。能不能說明琳達比彼得更機靈呢？

常用的智商測試的誤差率是3%。所以彼得的智商應該表述為98±3；琳達則是101±3。也就是，彼得的智商在95-101之間，琳達在98-104之間。從這里可以看出，彼得的智商是有可能高于琳達的。

對待這種情況的唯一辦法是看它所表示的范圍。將差別不大的數字比較是毫無意義的。

《讀者文摘》組織人對多種品牌的香煙進行分析，并公布了結果。人們發現危害成分排名，“老金”牌香煙排在最后。“老金”香煙的名聲因之大噪，“老金”公司也趁機大做廣告，但是刪掉了排行中危害成分含量的差距微乎其微的內容。雖然后來“老金”廠商被命令停止宣傳，但是他們已經從早期的宣傳中撈到了足夠的好處。

5、驚人的曲線

一圖勝千言。有些情況下，數字、表格太枯燥，而文字說明又難以解釋清楚時，這時，圖是最適合的表現形式。然而，我們往往會被精心設計的圖表嚴重誤導。

有多種方法讓一個很平凡的數據產生強大的視覺沖擊力。

比如，一個折線圖中，將縱坐標的起點取為某個較大的數值，而不是從0開始；將縱坐標的間隔取較小的數值，都能讓實際變化較小的數據顯示為比較陡峭的曲線。例如：

這個圖中的數據，銷售額從1月20.03百萬元到12月的20.1百萬元，僅上升了0.35%，然而精心設定縱坐標的起點和間隔，卻能顯示為一條陡峭的折線。

這并不是作者編造的。1951年《新聞周刊》就是這么干的，它顯示的圖形剪掉了下面的80個刻度，以顯示“股票市場創21年來新高”。1952年哥倫比亞煤氣公司在《時代周刊》的廣告，從數據可以得知10年來生活費上漲60%，煤氣費下跌約4%；然而通過精心選定的縱坐標起點，給人的視覺觀感是生活費上漲了3倍，而煤氣費降低了1/3。

有很多公司和每天使用這樣的花招誤導讀者。

6、平面圖

形象圖經常用來對兩個指標進行對比。形象圖的前身是條形圖或柱狀圖。條形圖也可以通過精心選擇縱坐標的起點以誤導讀者。

而形象圖就更容易做到這一點了。例如，比較兩個人的工資，一個人周薪30美元，另一個人是60美元。用兩個錢袋的形象圖表示兩者的對比，其中一個錢袋的高度是另一個高度的2倍。然而這完全是誤導性的。因為右邊錢袋的高度是左邊的2倍，寬度也是2倍，視覺觀感上右邊錢袋的面積是第一個的4倍；這還不算完，讀者會將這兩個錢袋想象為立體圖，這樣右邊錢袋的體積就是左邊錢袋的8倍。

《新聞周刊》就干過這樣的事。他們繪制了一張圖，用來吹噓從30年代到40年代美國鋼鐵生產能力的進步。為了表示生產能力從30年代的1000萬噸上升到40年代的1425萬噸，繪制了一個高爐形象圖，生產能力增加了42.5%，然而從圖上看來，生產能力似乎提高了好幾倍。

這些問題也許可以認為是制圖員的失誤，然而就像超市柜員在找回零錢時的偶爾失誤一樣，如果每一次失誤都有利于柜員，那么這個問題就值得深思。

7、牽強附會的數字

我們看到的報告，有時候會列舉一些數字，如果不細究，這些數字會給我們以震撼，令我們很自然相信某種結論。然而這些常常是精心挑選的、牽強附會的數字，目的就是誤導我們。

藥廠為了證明某種感冒藥的神效，發布一個試驗報告，宣稱僅僅1/2英兩的藥物，就在11秒鐘內殺死了試管中的31108個細菌。挑選一個有名的，或名字令人印象深刻的實驗室，拍一個穿白大褂的醫生模特的照片，印在報告邊上。但是千萬不要告訴公眾，這種藥物在咽喉中可能無效，也不要講殺死的細菌是哪一類。報告里面列舉的細菌，也許與引起感冒的某種東西，并無直接聯系，誰知道呢。

有很多這樣的花招。比如，吹噓某種榨汁機能多榨出26%的果汁。然而比什么多榨26%？舊式的手搖榨汁機。這種榨汁機也許是市場上最差的。去年在飛行事故中喪生的人員遠比1910年多，是不是現代飛機更不安全呢？根本不是，現在乘飛機的人是以前的千萬倍。最近因鐵路事故死亡的人達4721人，是不是鐵路更不安全呢？不是。

很多數字和事件之間并無關聯關系，把這兩者列在一起，完全是牽強附會，就是為了誤導。

《哈帕斯》雜志的讀者為A&P商店辯解說，該店純利潤只占銷售額的1.1%，誰會因這么低的利潤率而受到譴責呢？實際上這里的騙人之處是混淆了投資收益和銷售收益。例如，每天上午以0.99美元買入，下午以1.0美元賣出，賺的錢只是銷售額的1%，然而卻是一年投資額的365%。

1940年以前美國南方每年都有成千上萬的瘧疾病例，而現在卻很少報告。原因是現在證明是瘧疾的才會被記錄下來，而以前南方很多地方口語中的感冒和傷風也被認為是瘧疾。

美國和西班牙戰爭中海軍的死亡率是9‰，而同一時期紐約市民死亡率是16‰。是不是戰爭更安全呢？海軍士兵是健康的年輕人，而紐約市民包括從嬰兒到老年人的廣大范圍。

8、死灰復燃的偽因果論

兩個數字，似乎是有關聯的，宣傳者也極力將這個兩個數字聯系起來，讓人覺得似乎這兩者之間存在某種因果關系，然而事實并非如此。這種一種常見的花招，即將統計關聯宣傳為因果關聯。

有人想弄清楚學生抽煙與成績的關系。結果確實抽煙的學生成績差些。于是要想成績好就得戒煙。進一步的邏輯是抽煙使大腦麻木。然而實際情況可能相反，可能因為低分，沒有去借酒消愁，而是吞云吐霧。

B事件是在A之后發生的，因此，A是B的原因。這不一定是事實。甚至還有一種可能，這兩件事都是第三種因素的產物。

要避免上這種偽因果論的當，必須嚴格檢查任何說明相互關系的材料。關于不同數字的相關性，實際上由好幾種：

一種是偶然的相關。也許有一次，搜集的數字證明了相關性；但是再來一次，可能又證明不了相關性。人們往往會拋棄不想要的結果，并大量報道想要的結果。

還有一種普遍的協變關系，就是相關性確實存在，但是哪一個是原因，哪一個是結果，卻不可能弄清。這里，因和果可以不時互換位置。

還有一種比較棘手的情況，兩個變量中一種對另外一種具有明顯的影響，然而它們之間確實存在著真實的相關。許多不光彩的勾當就利用了這一點。比如抽煙與成績之間的關系，還有很多醫學統計數字也是如此，相互關系被證明是真實的，但是因果性質僅僅是臆想。

9、怎樣變統計戲法

利用統計資料可以向人們傳遞錯誤信息，可以說是利用統計進行操縱。

歪曲統計數據和為了某種目的而操縱統計數據的事，并不總是專業統計人員干的。統計人員手里的實事求是的數據一到商人、公共關系專家、新聞記者和廣告商手上，就會扭曲、夸大，過分簡單化，或在篩選過程中變形。

1949年美國普通家庭年收入是多少呢？美國普查局說是3100美元；拉塞爾·塞奇基金會說是5004美元。普查局的數據一般是中位數，塞奇基金會的數據可能是均值，即便如此，也不至于差距這么大。這是為什么呢？這是一個戲法。基金會將全美國的個人總收入除以全美人口數，然后乘以4（假定一家4口），就得到了5004美元。這種算法是完全錯誤的，四口之家的富裕程度決不是兩口之家的2倍。

廣告稱現在購買圣誕禮物可以節省100%的錢，這不過是基數混亂，實際上是減價50%。

《標準石油公司史》說：“西南部的減價幅度……在14%至220%之間。”這是在倒貼嗎？

上面說的這些花招似乎太陳舊、太露骨了，然而一直有人這么用。比如，每次發生罷工，就有人宣稱罷工每天造成幾百萬美元的損失。這是將罷工時間乘以該時間的產出額。

有人宣稱，對出版公司來說，由于各個環節成本上升，如車間成本提高了10-12%，原材料上漲了6-9%……，各項相加，總計成本上漲了33%，對小的出版商則是40%。然而即便每個環節都上漲了10%，總成本最多上漲了10%。這種各個環節百分比累加的邏輯純粹是無稽之談。

一個路邊兔肉三明治小販解釋他的三明治為何如此便宜，他說，我不得不摻些馬肉，我是對半摻的，一只兔子摻一匹馬。這個小販深得數字戲法真諦。

還有百分比和百分點的混淆。投資利潤率從第一年的3%提高到第二年的6%，可以說是提高了3個百分點，似乎很小，然而這個數字還可以描繪為利潤增加了100%。

盡管統計學是以數學為基礎，但它既是科學，也是藝術。在規定的適當范圍內變點戲法，甚至歪曲，都是可能的。

10、如何識別統計數字的真實性和有用性

面對統計數據，我們并不能用化學分析或金屬純度檢驗那樣的方法進行檢驗，然而，可以用下面的5個問題試探一下。

(1)誰這么說的？

實驗室為了支持某種理論，為了榮譽或金錢而證實某種東西，報紙為了聳人聽聞的消息，工廠或廠房為了控制性命攸關的工資水平，這些都可能產生偏見。

這些偏見之下，可能會瞪著眼瞎說，也可能說一些含糊之詞；可能會選擇有利的數據，回避不利的數據；也可能改變計算的標準。

(2)他是怎么知道的？

要密切注意選擇的樣本：是由于選擇不當，還是由于只選擇迎合自己的樣本，這個樣本是否大到足以作出任何可靠的結論。

關于相關系數，也要問一下，是否大到足以說明問題，是否從足夠多的實例得出，是否有一定的顯著性。

(3)缺了什么東西？

要密切注意未加說明的平均數，任何情況下，均值和中位數有很大的差別。

(4)有人偷換概念了嗎？

檢驗統計數字時，要注意在原始數字和結論之間某個環節上可能發生的變動，將一種東西報導成另外一種，這樣的事太多了。

(5)這有意義嗎？

每當聽到以沒有得到證實的假設為基礎的長篇大論時，可以想一想，這有意義嗎？這個問題可以使統計數字恢復它的本來面目。

許多統計資料一下就看出是假的，僅僅是由于數字的魔法鎮住了常識，它才得以蒙混過關。

雖然這本書初版距今已經67年，這并不意味著這本書所介紹的統計花招已經過時，我們在媒體上依然能看到各種各樣的欺騙性的統計數據。當然，時代在前進，新的花招也層出不窮。比如，如果某個統計數據很難看，怎么辦？調整其中某項指標的權重即可。如果調整權重仍然難看呢？也很容易，將這幾項指標直接踢出去。

有關部門或企業為什么要進行這種統計欺騙呢？當然是為了某些目的，這還用得著說嗎？

英國前首相迪斯雷利說過，謊話有三種，謊言，彌天大謊和統計。我們要了解社會，當然離不開統計數據，然而我們要睜大眼睛，仔細分辨這些數據背后的真相，凡事要多問幾個為什么。