科技改變生活 · 科技引領(lǐng)未來
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本文原載于《數(shù)學(xué)文化》第十一卷（2020年）第2期點(diǎn)擊此處訂購《數(shù)學(xué)文化》紙質(zhì)刊開場白從數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展來看，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系是非常緊密的。然而在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，二者往往處于割裂的狀態(tài)。本文以一道平面幾何題的多種解法以及推廣為主
本文原載于《數(shù)學(xué)文化》第十一卷（2020年）第2期
點(diǎn)擊此處訂購《數(shù)學(xué)文化》紙質(zhì)刊
開場白
從數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展來看，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系是非常緊密的。然而在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，二者往往處于割裂的狀態(tài)。本文以一道平面幾何題的多種解法以及推廣為主線，通過虛擬對話的方式，對這些解題方法的相關(guān)歷史背景及其內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行了初步的探討，嘗試勾畫出初等數(shù)學(xué)是如何發(fā)展到高等數(shù)學(xué)的。在某種意義上，這場對話的內(nèi)容可以看成是兩千多年數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的一個縱向切面。
主要人物介紹
M?克萊因：20世紀(jì)美國數(shù)學(xué)史家和數(shù)學(xué)教育家。《古今數(shù)學(xué)思想》是他的代表作之一，論述了數(shù)學(xué)思想的古往今來，這也是選擇他作為此次對話主持人的主要原因。
泰勒斯：古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，被譽(yù)為“論證幾何學(xué)的鼻祖”。
畢達(dá)哥拉斯：古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的創(chuàng)始人，該學(xué)派信奉“萬物皆數(shù)”，即萬事萬物都可以由整數(shù)或者整數(shù)之比來表示。
希帕蘇斯：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員，傳說他首先發(fā)現(xiàn)了正方形對角線與其一邊的不可公度性，而被驚恐不已的其他成員扔進(jìn)了大海。
歐多克斯：古希臘天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，他所提出的新比例理論暫時(shí)消除了由于不可公度量的出現(xiàn)而引發(fā)的“數(shù)學(xué)危機(jī)”。
芝諾：古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，因提出了一系列關(guān)于運(yùn)動不可分性的哲學(xué)悖論而聞名于世。在這些悖論中，其中一個就是“論證”了希臘善跑名將阿基里斯永遠(yuǎn)追不上一只烏龜。
歐幾里得：古希臘論證幾何學(xué)的集大成者，其著作《原本》對后世的影響極為深遠(yuǎn)。
艾布?瓦法：中世紀(jì)阿拉伯天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，著有《天文學(xué)大全》，證明了平面和球面三角形的正弦定理。
笛卡爾：17世紀(jì)法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，將幾何坐標(biāo)體系公式化從而開創(chuàng)了解析幾何。
關(guān)孝和：17世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家，在1683年的著作《解伏題之法》中最早提出了行列式的概念及算法。
拉格朗日：18世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)分析的開拓者之一。
高斯：18-19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)。在歷史上，高斯并不是最先給出復(fù)數(shù)的幾何解釋的，但是由于他的巨大影響力，人們逐漸認(rèn)識到這種解釋的合理性，從而溝通了復(fù)數(shù)和平面幾何的聯(lián)系，使得復(fù)數(shù)成為解決平面上的數(shù)學(xué)問題和物理問題的重要工具。
格拉斯曼：19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家，歷史上首次清晰地解釋了“維向量空間”的概念，把維向量空間的向量和與積用純幾何方法來定義，發(fā)展了通用的向量演算法。
哈密爾頓：19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家，提出了著名的“四元數(shù)”；在歷史上，他是第一位用“向量（vector）”這個詞表示有向線段的數(shù)學(xué)家。
龐斯列：19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，他使得射影幾何真正變革為一門具有獨(dú)立的目標(biāo)和方法的學(xué)科。
康托爾：19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家，集合論創(chuàng)始人，認(rèn)為“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由”。
M?克萊因：諸位，在西方文明中數(shù)學(xué)一直是一種主要的文化力量；以神圣的數(shù)學(xué)之名，我們歡聚一堂。首先有請古希臘泰勒斯先生。
泰勒斯：今天我們來探討幾何學(xué)。幾何學(xué)源遠(yuǎn)流長，人類最初的幾何知識從對世界萬物形的直覺中萌發(fā)出來。事實(shí)上，古埃及的幾何學(xué)即產(chǎn)生于尼羅河泛濫后土地的重新丈量，“幾何學(xué)”一詞的希臘文意即“測地”。
古希臘時(shí)代以前的數(shù)學(xué)都以經(jīng)驗(yàn)的積累為特征，幾何學(xué)也不例外；但經(jīng)驗(yàn)不是獲取知識的唯一方法，經(jīng)驗(yàn)也不能給人類以推理能力，我們需要一種推理方法來保證它所導(dǎo)出的結(jié)論具有確定性。
M?克萊因：古希臘學(xué)者們所發(fā)明的推理方法就是演繹法，即從已認(rèn)可的事實(shí)推導(dǎo)出新命題，承認(rèn)這些事實(shí)就必須接受推導(dǎo)出的命題；而幾何學(xué)便從此進(jìn)入了推理幾何階段，對于各種各樣幾何圖形的性質(zhì)作系統(tǒng)化和深刻的分析。
泰勒斯：的確如此。盡管歷史學(xué)家把論證數(shù)學(xué)的開端歸功于由我領(lǐng)導(dǎo)的愛奧尼亞學(xué)派，但實(shí)際上我們學(xué)派的興趣主要還是在自然哲學(xué)方面，比如宇宙起源理論等等。關(guān)于我本人也有很多傳說，比如說我早年經(jīng)商，進(jìn)行橄欖榨油機(jī)生意發(fā)了大財(cái)，在巴比倫我預(yù)報(bào)了公元前585年的一次日蝕，甚至還說我夜晚散步在全神貫注觀察星星時(shí)，不小心跌到溝中成了落湯雞——但傳說畢竟是傳說。
M?克萊因：關(guān)于泰勒斯先生的傳說有些還是有記載的，比如新柏拉圖派哲學(xué)家普羅克魯斯先生在其著作中便介紹說泰勒斯先生證明了下面關(guān)于三角形的一個很基本的性質(zhì)：等腰三角形兩底角相等。
三角形是僅次于線段和直線的最基本、最簡單的幾何圖形，并且空間中的大部分基本性質(zhì)都已經(jīng)在三角形的幾何性質(zhì)中充分體現(xiàn)，因此三角形是古希臘幾何學(xué)所研究的重要內(nèi)容之一。
泰勒斯：不錯，今天我們要探討的幾何問題便是與三角形有關(guān)：如圖1,為重心，過的直線交于,交于。求證：
圖1
畢達(dá)哥拉斯：泰勒斯先生，正所謂萬物皆數(shù)，與，與應(yīng)該均可公度！
希帕蘇斯：我的名字就是一種傳說，哪怕再次面臨著被扔到?jīng)坝康拇蠛５奈ｋU(xiǎn)，我也要說出我的發(fā)現(xiàn)：畢達(dá)哥拉斯先生，世上確實(shí)存在不可公度的線段！比如正方形的邊長和對角線長之間的輾轉(zhuǎn)丈量就是永無休止因而是不可公度的（如圖2）！
圖2
歐多克斯：向偉大的希帕蘇斯先生致敬！其實(shí)無論與，與是否可公度，利用比例理論我都可以證明“如果兩個三角形的高相同，則它們的面積之比等于兩底之比”。下面我將利用這個結(jié)論來解決泰勒斯先生所提出的問題。
圖3
如圖3，取為中點(diǎn)，設(shè)。由是重心可知且，。從而
所以
又
故
化簡即有
芝諾：歐多克斯先生的解法巧妙之至，可惜現(xiàn)在我沒有時(shí)間來研究它。阿基里斯到底能不能追上烏龜呢？我要好好思考一下。
托勒密一世：偉大的阿基里斯怎么能追不上一只烏龜呢？芝諾先生真是幽默。不過想要理解歐多克斯先生的解法，我還要認(rèn)真學(xué)習(xí)一下幾何學(xué)才行。尊敬的歐幾里得先生，您是幾何學(xué)的集大成者，請告訴我，學(xué)習(xí)幾何學(xué)有何捷徑呢？
歐幾里得：幾何學(xué)無王者之道！尊敬的托勒密王可參閱我編寫的《原本》(Elements)一書。歐多克斯先生的方法確實(shí)不錯，但我發(fā)現(xiàn)了更為精巧的方法，應(yīng)該可以加到我的《原本》中去：
圖4
如圖4，同樣取為中點(diǎn)，連接。分別過點(diǎn)作直線的垂線于，則有
M?克萊因：歐幾里得先生不愧為幾何學(xué)大師，其方法簡潔明了，所作輔助線有如神來之筆，充分體現(xiàn)了幾何學(xué)的神奇魅力，讓人驚嘆！
歐幾里得先生的《原本》以亞里士多德先生的形式邏輯為方法論基礎(chǔ)，將前人的工作整理、匯編，構(gòu)建了歷史上第一個數(shù)學(xué)公理體系，堪稱西方科學(xué)的“圣經(jīng)”！
艾布?瓦法：歐幾里得先生果然名不虛傳。不過我卻要對尊敬的托勒密先生表示感謝，您的著作《大成》雖然是探討天文學(xué)，但對三角學(xué)的貢獻(xiàn)卻是里程碑式的。受您的啟發(fā)，我編寫了《天文學(xué)大全》，其中關(guān)于三角形的正弦定律，可以用來解決這個幾何問題。
圖5
如圖5，過作交于，交于。設(shè)
則
由正弦定律可得
因?yàn)?/p>
所以
即
M?克萊因：艾布?瓦法先生的解法將此問題的一般情況與特殊情況作對比，雖計(jì)算略顯復(fù)雜，也不失為一種好辦法。
三角學(xué)確實(shí)是為天文學(xué)的應(yīng)用而產(chǎn)生的——天文學(xué)可能是一門比數(shù)學(xué)的歷史還要悠久的學(xué)科，若知道這一點(diǎn)，人類為何首先關(guān)注球面三角學(xué)而不是平面三角學(xué)便不顯得奇怪了。當(dāng)然，隨著13世紀(jì)納西爾?丁先生的著作《論完全四邊形》的誕生，三角學(xué)便逐漸脫離天文學(xué)而成為一門獨(dú)立的學(xué)科。
三角學(xué)揭示了三角形的各種各樣幾何量之間的函數(shù)關(guān)系，因此從某種意義上來說三角學(xué)就是三角形的解析幾何。本質(zhì)上講，三角定律揭示的是平面幾何的度量結(jié)構(gòu)，其中正弦定律(Law of sines)與面積有關(guān)，而余弦定律(Law of cosines)——畢達(dá)哥拉斯定理的推廣——則與長度有關(guān)。因此可以說艾布?瓦法先生的解法與歐多克斯先生的解法本質(zhì)上是相同的。
笛卡爾：各位先生的解法的確巧妙之至，但太依賴于幾何圖形了，也許只適合于想象力疲乏的情況下去練習(xí)理解力；同樣遺憾的是，現(xiàn)在的代數(shù)學(xué)也太拘泥于各種法則和公式了，似乎變成了一種充滿混雜和晦暗，故意用來阻礙思想的藝術(shù)而不像一門改進(jìn)思想的科學(xué)。對此，我們要感謝韋達(dá)先生，他在數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)化方面的卓越工作，大大提高了代數(shù)學(xué)的一般性。我認(rèn)為，是該到了把代數(shù)學(xué)以及幾何學(xué)中一切最好的東西，即幾何的直觀和計(jì)算的程序化結(jié)合起來，互相以長補(bǔ)短的時(shí)候了。
M?克萊因：笛卡爾先生所言極是。您和費(fèi)馬先生各自獨(dú)立所發(fā)明的解析幾何，確實(shí)是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重要里程碑。不過費(fèi)馬先生作為數(shù)學(xué)家與您還是風(fēng)格迥異，您的哲學(xué)思想對后世可謂影響深遠(yuǎn)。
笛卡爾：Je pense, donc jesuis！（我思故我在）以任意點(diǎn)為原點(diǎn)建立我的直角坐標(biāo)系。設(shè)
則
由三點(diǎn)共線知：
即
為方便計(jì)算可建立下表（計(jì)算左右各項(xiàng)相應(yīng)的系數(shù)）：
由此可得
拉格朗日：此法甚好！歷史告訴我們，只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄。但是當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成為伴侶時(shí)，它們就互相吸取新鮮的活力，從此數(shù)學(xué)就以快速的步伐走向完善。
M?克萊因：的確如此，微積分的誕生及其蓬勃發(fā)展即是最有力的證據(jù)。解析幾何的妙處還在于提供了解決幾何問題的一般方法：將幾何元素代數(shù)化（點(diǎn)與實(shí)數(shù)對對應(yīng)，曲線與方程對應(yīng)），因此在代數(shù)的幫助下，幾何元素也可以自由的進(jìn)行運(yùn)算；要知道只通過圖形進(jìn)行論證，一些隱藏較深的數(shù)量關(guān)系便難以發(fā)現(xiàn)，解題途徑自然是千奇百怪。不過笛卡爾先生的上述證明應(yīng)該還可以簡化。
笛卡爾：根據(jù)坐標(biāo)系可以任意建立的原理，取點(diǎn)為原點(diǎn)即可得到：
從而有；由于三點(diǎn)不共線，故，所以。
M?克萊因：果不其然！不過相對于純幾何法，解析法往往面臨計(jì)算過于繁瑣的窘境，但隨著代數(shù)工具的不斷改進(jìn)，這種局面應(yīng)該會有很大改觀。
關(guān)孝和：首先我代表東方的數(shù)學(xué)家們向大家致敬！笛卡爾先生的證明確實(shí)可以利用新的代數(shù)工具——行列式來表示：由三點(diǎn)共線知：
利用行列式的性質(zhì)化簡可得：
即
用一些行列式性質(zhì)可以得到
由于
所以。
M?克萊因：確實(shí)方便了不少。在西方，行列式起源于線性方程組的求解，萊布尼茲先生對此頗有研究；東方的關(guān)孝和先生則是從高次方程組消元法入手對這一概念進(jìn)行闡述的。盡管處理方式不同，最終殊途同歸，可謂春天的紫羅蘭處處開放！
經(jīng)過比較我們還可以發(fā)現(xiàn)，如果將行列式展開，得到的便是笛卡爾先生最初的計(jì)算過程，因此利用行列式不但解釋了為何當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)有
另外，根據(jù)不難發(fā)現(xiàn)與是等價(jià)的，從圖形上看其實(shí)也就是笛卡爾先生所用到的三點(diǎn)不共線以及三點(diǎn)不共線本質(zhì)相同。由此可見，無論計(jì)算的工具和途徑有何變化，背后所依賴的幾何事實(shí)卻是不變的。
費(fèi)馬：言之有理！關(guān)于此問題的解析法，我突然想到一個真正奇妙的證明。
M?克萊因：甚好！尊敬的費(fèi)馬先生，不像的整數(shù)解問題，我們這個問題您有足夠的時(shí)間來思考與闡述。
費(fèi)馬：以任意點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，由三點(diǎn)共線可知存在實(shí)數(shù)使得
由三點(diǎn)不共線知
從而有。
M?克萊因：妙哉！妙哉！上述方法其實(shí)蘊(yùn)含著平面的一個相當(dāng)根本的性質(zhì)，即平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都可以由已知的不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)來表示，且表示法唯一。本質(zhì)上，這就是我們剛才提到的“幾何事實(shí)”：平面是實(shí)數(shù)域上的二維向量空間。當(dāng)然，上述解法也可以直接用向量來表達(dá)。
格拉斯曼：向量是近代數(shù)學(xué)的一個重要工具，它最早起源于物理學(xué)，人類很早就知道力的合成滿足平行四邊形法則；除此之外，位置幾何是向量理論的又一個重要思想源泉，這一源泉早期可以追溯到萊布尼茲先生的位置幾何的概念。
M?克萊因：萊布尼茲先生想創(chuàng)造一種可以作為空間分析的直接方法的系統(tǒng)，確實(shí)很有遠(yuǎn)見。如果說歐幾里得幾何的特點(diǎn)是綜合，笛卡爾幾何的特點(diǎn)是分析，那么向量便同時(shí)擁有這兩大特點(diǎn)：它既可以向幾何圖形一樣自由地移動，也可以像數(shù)一樣自由地運(yùn)算。另外，笛卡爾先生所提到的直角坐標(biāo)系可以任意建立的事情，本質(zhì)上就是向量可以自由地平移！
圖6
格拉斯曼：的確如此。我們來看如何用向量來解決這個平面幾何問題。如圖6，設(shè)
由是重心可得
由三點(diǎn)共線可知存在數(shù)使得
由三點(diǎn)不共線知
從而有
M?克萊因：妙哉！妙哉！向量工具的優(yōu)點(diǎn)就是直觀明了且又計(jì)算簡單。
高斯：向量的概念確實(shí)很基本，比如復(fù)數(shù)也可以用向量來表示，因此上述向量證法也可以改用復(fù)數(shù)的語言來表述：以A為原點(diǎn)建立復(fù)平面，設(shè)
其中,都是實(shí)數(shù)。設(shè)點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為,則
由三點(diǎn)共線知：存在實(shí)數(shù)使得，即
由三點(diǎn)不共線得
即。
M?克萊因：復(fù)數(shù)與向量之間確實(shí)有天然的聯(lián)系。在平面上，點(diǎn)、向量以及復(fù)數(shù)在一定情況下可以等同起來，所以很多幾何問題既可以用向量來解決，也可以用復(fù)數(shù)來解決。
哈密爾頓：諸位，讓我來提醒大家一件非常有趣的事情吧：若點(diǎn)落在線段延長線上，規(guī)定
則上述解析法和向量法證明依然成立！
M?克萊因：有意思!
哈密爾頓：說明此事只需引入線段的方向即可。當(dāng)點(diǎn)落在延長線上時(shí)，線段和恰好方向相反，因此可以規(guī)定
同樣的道理，當(dāng)落在線段延長線上時(shí)就有
如圖7。這里蘊(yùn)含的其實(shí)就是有向線段的概念，我們通常用它來表示平面向量。
圖7
M?克萊因：這相當(dāng)于把原命題推廣了，甚好！不過當(dāng)時(shí)（如圖8）有
如果此時(shí)
則的結(jié)論也成立，但遺憾的是此時(shí)點(diǎn)并不存在，上述種種方法中唯一的約束就是且。
圖8
龐斯列：設(shè)平面上所有平行的一組直線相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則平面上的點(diǎn)和直線就完全對稱了。就上述問題而言即有
此時(shí)也成立！
康托爾：數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由！
M?克萊因：無窮的數(shù)學(xué)世界無窮無盡，人類的探索也永無止境。感謝諸位參與此次對話。最后不得不提及古希臘的柏拉圖先生——作為古希臘最有學(xué)問的學(xué)者，雖然他不是一名數(shù)學(xué)家，但他深信數(shù)學(xué)對哲學(xué)和了解宇宙的重要作用，倡導(dǎo)為了凈化靈魂而去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。這種精神將激勵我們永遠(yuǎn)前行！
注釋
M?克萊因.西方文化中的數(shù)學(xué).張祖貴譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2004.
李文林.數(shù)學(xué)史概論(第2版).北京：高等教育出版社，2002.
項(xiàng)武義. 基礎(chǔ)幾何學(xué). 北京：人民教育出版社，2004.
該問題參見： http://www.cut-the-knot.org/triangle/CharacteristicPropertyOfCentroid.shtml.
此解法參見：http://www.cut-the-knot.org/triangle/CharacteristicPropertyOfCentroid.shtml.
見：項(xiàng)武義. 基礎(chǔ)幾何學(xué). 北京：人民教育出版社，2004.
楊浩菊. 行列式理論歷史研究. 西安：西北大學(xué)，2004.
孫慶華. 向量理論歷史研究. 西安：西北大學(xué)，2006.
梅向明. 高等幾何（第2 版）. 北京：高等教育出版社，2000.
作者簡介 ：
彭剛， 廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師。2017 年博士畢業(yè)于華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，研究興趣為數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)文化傳播。
文章為原創(chuàng)內(nèi)容，版權(quán)歸【數(shù)學(xué)文化】所有
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關(guān)于數(shù)學(xué)文化
《數(shù)學(xué)文化》為季刊，目的是將數(shù)學(xué)展示給我們的世界，在文化層面上闡釋數(shù)學(xué)的思想、方法、意義，涵蓋數(shù)學(xué)人物，數(shù)學(xué)歷史，數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)趣談以及數(shù)學(xué)煙云等等，雜志的對象是對數(shù)學(xué)有興趣的讀者。- 數(shù)學(xué)文化 -
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