科技改變生活 · 科技引領未來
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分解因式的常用方法
一、本節學習指導
本節較為復雜，因式分解大多講究技巧，于是我們要多做練習，慢慢總結。本節有配套學習視頻
二、知識要點
1、 因式分解的思路與解題步驟：
（1）先看各項有沒有公因式，若有，則先提取公因式；
（2）再看能否使用公式法；
（3）用分組分解法，即通過分組后提取各組公因式或運用公式法來達到分解的目的；
（4）因式分解的最后結果必須是幾個整式的乘積，否則不是因式分解；
（5）因式分解的結果必須進行到每個因式在有理數范圍內不能再分解為止。
2、 提公共因式法
（1）、 如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。
如：ab+ac=a（b+c）
（2）、概念內涵：
（1）因式分解的最后結果應當是&34;積&34;;
（2）公因式可能是單項式，也可能是多項式；
（3）提公因式法的理論依據是乘法對加法的分配律，即： ma+mb-mc=m（a+b-c）
（3）、易錯點：
（1）注意項的符號與冪指數是否搞錯；
（2）公因式是否提&34;干凈&34;;
（3）多項式中某一項恰為公因式，提出后，括號中這一項為+1,不漏掉。
3、 運用公式法
（1）、如果把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項式分解因式。這種分解因式的方法叫做運用公式法。
（2）、主要公式：
（1）平方差公式：
（2）完全平方公式：
（3）、易錯點： 因式分解要分解到底。如就沒有分解到底。
4、怎樣選擇公式
（1）、平方差公式：
①應是二項式或視作二項式的多項式；
②二項式的每項（不含符號）都是一個單項式（或多項式）的平方；
③二項是異號。
（2）、完全平方公式：
①應是三項式；
②其中兩項同號，且各為一整式的平方；
③還有一項可正負，且它是前兩項冪的底數乘積的2倍。
5、 分組分解法：
（1）、分組分解法：利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。
如：
（2）、概念內涵：
分組分解法的關鍵是如何分組，要嘗試通過分組后是否有公因式可提，并且可繼續分解，分組后是否可利用公式法繼續分解因式。
（3）、 注意： 分組時要注意符號的變化。
5、十字相乘法
有些二次三項式，可以把第一項和第三項的系數分別分解為兩個數之積，然后借助畫十字交叉線的方法，把二次三項式進行因式分解，這種方法叫十字相乘法。
簡單的說十字相乘法就是：十字左邊相乘等于二次項系數，右邊相乘等于常數項，交叉相乘再相加等于一次項系數。
注意：十字相乘法不是適合所有二次三項式，只有在一次項系數和二次項系數以及常數項存在一種特殊關系時才能用，這個特殊關系我們通過例題來說明：
分析：
第一步：觀察常數項-7和二次項系數1以及一次項系數6我們可以得出：因為-7=7×-1
所以把-7列豎式表示為7、-1,如上圖；二次項系數1=1×1,所以列豎式 1、1我們把它們交叉相乘然后相加得到7-1=6,我們發現剛好是一次項系數于是決定用十字相乘法。這一步也是能不能使用十字相乘法的條件。
第二步：我們把橫著的第一排1、7用括號括起來寫成（1x+7），1為x的系數，把第二排1、-1也用括號括起來（1x-1），最后把兩個括號括起來的相乘就得到最終結果。
第三步：寫出分解結果得：（1x+7）×（1x-1）
注意：我們在用十字相乘法之前一定要根據第一步判斷是否能用十字相乘法。我們在分解常數項和二次項系數時變化多端，目的是交叉相乘之和要等于一次項系數，如何分配常數項和二次項系數要根據情況而定。十字相乘法在對系數分解時易出錯，因此我們要小心；分解的結果與原式不等，這時通常采用多項式乘法還原后檢驗分解的是否正確。
易錯點：
（1）十字相乘法在對系數分解時易出錯；
（2）分解的結果與原式不等，這時通常采用多項式乘法還原后檢驗分解的是否正確。
三、經驗之談：
通常，把一個多項式分解因式，應先提公因式，再應用公式法，或者其他方法。進行多項式因式分解時，必須把每一個因式都分解到不能再分解為止。
整式的除法
一、本節學習指導
本節中我們要記住平方差公式、完全平方差公式，并且要會逆運算的運用，這點在因式分解中經常用到。本節同學們要多看，不要忘記常見的公式。本節有配套免費學習視頻。
二、知識要點
1、整式乘法
（1）、單項式除法單項式
單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式；
（2）、多項式除以單項式
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加，其特點是把多項式除以單項式轉化成單項式除以單項式，所得商的項數與原多項式的項數相同，另外還要特別注意符號。
2、平方差公式
（1）、平方差公式：兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差，即 。
其結構特征是：
①公式左邊是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項相同，第二項互為相反數；
②公式右邊是兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方之差。
3、完全平方公式
（1）、完全平方公式：兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍，即 ；
口訣：首平方，尾平方，2倍乘積在中央；
（2）、結構特征：
①公式左邊是二項式的完全平方；
②公式右邊共有三項，是二項式中二項的平方和，再加上或減去這兩項乘積的2倍。
（3）、在運用完全平方公式時，要注意公式右邊中間項的符號，以及避免出現 這樣的錯誤。
添括號法則：添正不變號，添負各項變號，去括號法則同樣
4、同底數冪的除法
（1）、 同底數冪的除法法則：同底數冪相除，底數不變，指數相減，即 （a≠0,m、n都是正數，且m>n）。
（2）、 在應用時需要注意以下幾點：
①法則使用的前提條件是&34;同底數冪相除&34;而且0不能做除數，所以法則中a≠0.
②任何不等于0的數的0次冪等于1,即a0=1(a≠0)，100=1，（-2.5）0=1.而00無意義
③任何不等于0的數的-p次冪（p是正整數），等于這個數的p的次冪的倒數，即 （ a≠0,p是正整數）， 而0-1,0-3都是無意義的；當a>0時，a-p的值一定是正的； 當a<0時，a-p的值可能是正也可能是負的，如 。
④運算要注意運算順序。
5、 分解因式
（1）、把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式。
（2）、因式分解與整式乘法是互逆關系。
（3）、因式分解與整式乘法的區別和聯系：整式乘法是把幾個整式相乘，化為一個多項式；因式分解是把一個多項式化為幾個因式相乘。
三、經驗之談：
如何記住上面的公式呢，我們可以利用文字理解來幫助記憶。平方差是先平方后作差： ；完全平方差（和）是完全把差（和）平方了即：，
整式的乘法
一、本節學習指導
整式的乘法是整數運算的主要內容，是進一步學習因式分解、分式、方程以及其它數學內容的基礎，學習過程中只要能理解并運用數學常用方法&34;整體代入&34;便可學好本節，本節同學們要多做練習，達到很多整式乘法都能口算為止。本節有配套學習視頻。
二、知識要點
1、 單項式乘法法則：單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數作為積的一個因式。
注意：①積的系數等于各因式系數積，先確定符號，再計算絕對值。這時容易出現的錯誤的是，將系數相乘與指數相加混淆；
②相同字母相乘，運用同底數的乘法法則；
③只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數作為積的一個因式；
④單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用；
⑤單項式乘以單項式，結果仍是一個單項式。
2、單項式與多項式相乘
單項式乘以多項式，是通過乘法對加法的分配律，把它轉化為單項式乘以單項式，即單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。
注意：①單項式與多項式相乘，積是一個多項式，其項數與多項式的項數相同；
②運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號；
③在混合運算時，要注意運算順序。
3、多項式與多項式相乘
多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
注意：①多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法是：在沒有合并同類項之前，積的項數應等于原兩個多項式項數的積；
②多項式相乘的結果應注意合并同類項；
三、經驗之談：
其實本節的難度并不大，很多同學出錯是因為粗心，做本章節題目時我們一定要把眼睛放大看準了，數學可是非常了不起的學科哦，是唯一能全方位訓練人體大腦的學科。同學們從今往后也要做一個細心的人哦！很多同學可能會說：&34;我天生就粗心&34;,其實粗心和細心之間區別就在于&34;心&34;而不在于&34;先天、后天&34;.有個笑話：劉備媽媽問劉備為什么沒有考好，劉備答：我笨。劉備媽媽就問：&34;笨是先天的呢還是后天的？劉備頓時醒悟，然則考上北大，當然帝王。
同底數冪的乘法
一、本節學習指導
理解冪的乘方和積的乘方法則是至關重要的，知識點很好理解，考察的時候經常和其他知識點結合命題，有時也單獨命題，但基本都很容易，一般是選擇題、填空題，同學們要牢牢掌握本節涉及的公式。本節有學習視頻.
二、知識要點
三、經驗之談：
同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方這三個運算法則是整式乘法的基礎，也是整式乘法的主要依據。所以要求每個學生都能掌握三個運算法則的數學表達式： （&34;m、n都為正整數）&34;，文字表述為&34;同底數冪相乘，底數不變，指數相加，冪的乘方，底數不變，指數相乘，積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方&34;。
次函數
一、本節學習指導
本節的知識相當重要，同學們要引起重視，如果給出一個式子讓其判斷是不是一次函數，判斷方法我們要掌握。關于一次函數的解析式的幾種求法我們要會，特別是最常用的&34;待定系數法&34;。本節有配套學習視頻。
二、知識要點
1、一次函數：形如y=kx+b （k≠0, k, b為常數）的函數。
注意：（1）要使y=kx+b是一次函數，必須k≠0.如果k=0,則kx=0,y=kx+b就不是一次函數；
（2）當b=0時，y=kx,y叫x的正比例函數。
2、圖象：一次函數的圖象是一條直線。【重點】
（1）兩個常有的特殊點：與y軸交于（0,b）；與x軸交于（-b/k,0）
（2）由圖象可以知道，直線y=kx+b與直線y=kx平行，例如直線：y=2x+3與直線y=2x-5都與直線y=2x平行。
3、性質： 【重點】
（1）圖象的位置：
（2）增減性
k>0時，y隨x增大而增大
k<0時，y隨x增大而減小
4.求一次函數解析式的方法 【重點】
（1）由已知函數推導或推證
（2）由實際問題列出二元方程，再轉化為函數解析式，此類題一般在沒有寫出函數解析式前無法（或不易）判斷兩個變量之間具有什么樣的函數關系。
（3）用待定系數法求函數解析式。（最常用）
&34;待定系數法&34;的基本思想就是方程思想，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為方程（組）來解決，題目的已知恒等式中含有幾個等待確定的系數，一般就需列出幾個含有待定系數的方程，本單元構造方程一般有下列幾種情況：
①利用一次函數的定義
x的系數不為0,x的最高次數為1,構造方程組。
②利用一次函數y=kx+b中常數項b恰為函數圖象與y軸交點的縱坐標，即由b來定點；直線y=kx+b平行于y=kx,即由k來定方向 .
③利用函數圖象上的點的橫、縱坐標滿足此函數解析式構造方程。
④利用題目已知條件直接構造方程 .
三、經驗之談：
1、判斷一個式子是不是一次函數，首先看&34;k&34;是否等于零，其次看最高次項是否等于1次。
2、給出一個一次函數，我們要能迅速的畫出圖像，一看朝向，如果k>0,圖像&34;向上爬&34;,k<0,圖像&34;向下滑&34;;二看截距，截距就是|b|,如果b>0,圖像和y軸的焦點在y的正半軸，如果b<0,則在y的負半軸。一次函數的圖像是一條直線，因此我們只要定出兩點即可，兩點確定一條直線。
3、一次函數的增減性很簡單，當函數圖像&34;向上爬&34;時，y隨x的增大而增大；當函數圖象&34;向下滑&34;時，y隨x的增大而減小。
函數
一、本節學習指導
本節開始我們接觸函數知識，這里我們要理解函數的概念、函數的表示方法、作圖方法。希望同學們多動手畫圖，多思考，多做練習題。本節有配套學習視頻。
二、知識要點
1、變量：在一個變化過程中可以取不同數值的量，函數中用x表示。
常量：在一個變化過程中只能取同一數值的量，往往用c來表示。
2、函數：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y,并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數。
注：函數是一種變化關系，這里我們舉個例子來幫助理解，比如：我們由上海到北京可以選擇坐飛機或者火車，如果選擇坐飛機，相應會省時間，如果選擇坐火車，相應會省錢。這種變化關系就可以說是函數關系，因變量y總是隨著自變量x的變化而變化，x變了，y就會有唯一的一個值來回應x的變化。
注意：x變了，y就會有唯一的一個值與之對應。比如：x2=y,當x=±2時y都等于4,x可以是多個值，而y與之對應變化的只有一個值，簡稱&34;多對一&34;.判斷Y是否為X的函數，只要看X取值確定的時候，Y是否有唯一確定的值與之對應
例：判斷下列的圖像不是表示函數的是：
分析：上面四個圖，看似都差不多，到底那一個圖表示的不是函數呢，我們根據：看X取值確定的時候，Y是否有唯一確定的值與之對應，再看下面的分析圖。只要在x軸上找到一個x值使得函數有2個以上的值與之對應，那么這個圖就不是函數的圖，如下圖A.
3、定義域：一般的，一個函數的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數的定義域。
4、確定函數定義域的方法：
（1）關系式為整式時，函數定義域為全體實數；
（2）關系式含有分式時，分式的分母不等于零；
（3）關系式含有二次根式時，被開放方數大于等于零；
（4）關系式中含有指數為零的式子時，底數不等于零；
（5）實際問題中，函數定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。
5、函數的解析式：用含有表示自變量的字母的代數式表示因變量的式子叫做函數的解析式
6、函數的圖像
一般來說，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象。
7、描點法畫函數圖形的一般步驟
第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數值）；
第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點）；
第三步：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。
例：畫出函數y=2x的圖像
第一步：取點，（一般情況下，取以0為中心的點）
第二步：描點，（根據坐標知識準確標出上面取的點）
第三步：連線，（用平滑的線連接起來）
8、函數的表示方法
（1）列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應值是有限的，不易看出自變量與函數之間的對應規律。
（2）解析式法：簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數之間的相依關系，但有些實際問題中的函數關系，不能用解析式表示。
（3）圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數關系。
三、經驗之談：
1、如果給出一組圖，我們要能正確的判斷是否是函數的圖，精髓在于&34;唯一&34;二字。2、其次我們要懂得畫函數圖象的步驟和技巧。3、給出一個函數關系式我們要保證這個關系有意義，以此來快速求出定義域（x的取值范圍）。
實數的分類
一、本節學習指導
本節本身并不難，同學們只要明白無理數、實數、絕對值的概念，再做適當練習題就能完全掌握。我們要注意理解絕對值的幾何意義。本節有配套學習視頻。
二、知識要點
1、無理數
（1）無限不循環小數的小數叫做無理數；
注意：它必須滿足&34;無限&34;以及&34;不循環&34;這兩個條件。在初中階段，無理數的表現形式主要包含下列幾種：（1）特殊意義的數，如：圓周率以及含有圓周率的一些數；（2）開方開不盡的數，如：根號2,根號3等；（3）特殊結構的數：如：2.010 010 001 000 01…（兩個1之間依次多1個0）等。應當特別注意的是：帶根號的數不一定是無理數，如：根號9等；無理數也不一定帶根號，如：圓周率
2、有理數與無理數的區別：
（1）有理數指的是有限小數和無限循環小數，而無理數則是無限不循環小數；
（2）所有的有理數都能寫成分數的形式（整數可以看成是分母為1的分數），而無理數則不能寫成分數形式。
3、實數
（1）有理數與無理數統稱為實數。在實數中，沒有最大的實數，也沒有最小的實數；絕對值最小的實數是0,最大的負整數是-1.
（2）實數的性質：實數a的相反數是-a;實數a的倒數是1/a（a≠0）；實數a的絕對值
它的幾何意義是：在數軸上的點到原點的距離。
注意：絕對值的幾何意義是：在數軸上的點到原點的距離，比如|5|表示的是數軸上到原點距離為5的所有點，即有兩個：-5,5,這兩點到原點的距離都為5,所以|±5|=5.
（3）實數的大小比較法則：實數的大小比較的法則跟有理數的大小比較法則相同：即正數大于0,0大于負數；正數大于負數；兩個正數，絕對值大的就大，兩個負數，絕對值大的反而小。（在數軸上，右邊的數總是大于左邊的數）。對于一些帶根號的無理數，我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。
（4）實數的運算：在實數范圍內，可以進行加、減、乘、除、乘方、開方六種運算。運算法則和運算順序與有理數的一致。
三、經驗之談：
本節考得最多的是無理數的概念和絕對值的幾何意義。無理數常見的幾種表現方式我們要熟悉，注意：無限循環小數是有理數。其次我們要正確的理解絕對值的幾何意義，它表示的是數軸上的點到數軸原點的距離，我們都知道數軸分為正負兩半，那么不管怎樣總有兩個數字相等符號相反的兩個數到原點的距離相等。
平方根和立方根
一、本節學習指導
平方根是實數章節的基礎知識，也是以后學習一元二次方程等知識的必備基礎，中考的必考內容之一，此節我們要掌握平方根和立方根的概念。本節有配套免費學習視頻。
二、知識要點
3、立方根
（1）如果x的立方等于a,那么，就稱x是a的立方根，或者三次方根。讀作，3次根號a.注意：這里的3表示的是開根的次數。一般的，平方根可以省略不寫根的次數，但是，當根的次數在兩次以上的時候，則不能省略。
（2）平方根與立方根：每個數都有立方根，并且一個數只有一個立方根；但是，并不是每個數都有平方根，只有非負數才能有平方根。
三、經驗之談：
實數是整個數學學科的基礎，對于初學者來講，有些概念比較抽象、難懂，沒關系，慢慢來，對于平方根和立方根的基礎題型我們要會做，本節題目在后面變化多端，多做練習相信一定能理解的。
等腰三角形
一、本節學習指導
本節中我們要掌握等腰三角形、等邊三角形的性質和特征。這一節的知識在后面用得非常多，當然也不用刻意去做練習增強這部分記憶，后面我們在做題中用多了也就理解記憶了，慢慢的就把這部分知識當成一種習慣了。
二、知識要點
1、等腰三角形
有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。如圖：相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊。兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角。
2、等腰三角形的性質【重點】
性質1:等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成&34;等邊對等角&34;）
性質2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。
注：（1）等腰三角形是軸對稱圖形。
（2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對應相等。
（3）在全等三角形中，相等的邊對應的角相等，反之也成立。
3、等腰三角形的判定定理、
如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成&34;等角對等邊&34;）。
4、等邊三角形
三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形。
5、等邊三角形的性質
等邊三角形的三個內角都相等，?并且每一個內角都等于60°
6、等邊三角形的判定方法
（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；
（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
7、常用結論【重點】
（1）在直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半。
（2）三角形三個內角的平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離相等，即為三角形的內心。
（3）等邊三角形中三個邊的中垂線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。
上圖中一一用圖形展現了上面的結論，希望能幫助同學們理解這些里結論。下面對應解釋一下。
（1）直角三角形ACB中，∠B=30°，所對的邊AC=（1/2）AB
（2）三角形ABC中，三個內角平分線交與點O,則有OE=OF=OD.適用于任何三角形。
（3）在等邊三角形中，三邊的中垂線AD、BE、CF交于一點，并且三個頂點ABC到交點的距離相等。
三、經驗之談：
本節的知識還算比較簡單，不過同學們要善于觀察圖形，總結經驗。這里提醒一下，很多同學在做幾何題的時候喜歡&34;猜&34;，比如：題目中并沒有告訴他一條線是一個角的角平分線，他就當成角平分線來用了，這是不對的哦！如果是已經證明的真理我們直接可以拿過來用，否則千萬不要亂&34;猜&34;!當然在考試中，如果遇到實在不會做的，也是下下策。
軸對稱圖形的變換
一、本節學習指導
本節知識相對還是比較好學，同學們多動動手和觀察，本節配套免費學習視頻。
二、知識要點
1、軸對稱變換：由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換。?
注：成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看著由另一個圖形經過軸對稱變換后得到。
2、軸對稱變換的性質
（1）經過軸對稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣
（2）經過軸對稱變換得到的圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關于對稱軸的對稱點。
（3）連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分。
3、作一個圖形關于某條直線的軸對稱圖形【重點】
（1）作出一些關鍵點或特殊點的對稱點。
（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對稱點，即得到原圖形的軸對稱圖形。
例：畫出△ABC的軸對稱變換后的得到的圖形。
分析：我們找到能決定形狀的點，
① 找到點A、B、C,
② 接著過點A、B、C分別作對稱軸的垂線，并使得垂足到兩個兩個點的的距離相等，如：B、B&39;到對稱軸的距離相等
③ 連接經過軸對稱變換后的幾個點A&39;B&39;C&39;,得到△A&39;B&39;C&39;,完畢。
4、找一點使距離之和最短【重點】
條件：如下左圖，A、B是直線L同旁的兩個定點。
問題：在直線L上確定一點P,使PA+PB的值最小。
方法：作點A關于直線L的對稱點A&39;,連結A&39;B交L于點P,則PA+PB=A&39;B的值最小。
注：這個知識點非常有技巧，以后遇到的很多題型如果會運用這個方法就省很多事。
用坐標表示軸對稱
5、關于坐標軸對稱【重點】
點P（x,y）關于x軸對稱的點的坐標是（x,-y）
點P（x,y）關于y軸對稱的點的坐標是（-x,y）
點P（x,y）關于原點對稱的點的坐標是（-x,-y）
點P（x,y）關于第一、三象限坐標軸夾角平分線y=x對稱的點的坐標是（y,x）
三、經驗之談：
上面的總結已經淋漓盡致了，基本上每個知識點都說的很清楚，剩下的就看同學們愿不愿意思考和動手了。上圖2中，同學們想一想P（x,y）關于y=-x軸對稱點P2的坐標是什么。
軸對稱
一、本節學習指導
本節較簡單，同學們重點理解兩點，第一：軸對稱圖形和圖形軸對稱的區別；第二：正確畫出一個圖形軸對稱的結果。本節有配套免費學習視頻。
二、知識要點
1、軸對稱圖形
如果一個圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，?這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。有的軸對稱圖形的對稱軸不止一條，如圓就有無數條對稱軸）
2、軸對稱
有一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，?那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點。兩個圖形關于直線對稱也叫做軸對稱。
3、圖形軸對稱的性質
如果兩個圖形成軸對稱，?那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。
4、軸對稱與軸對稱圖形的區別
軸對稱是指兩個圖形之間的形狀與位置關系。
軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形。
注意：軸對稱強調的是對稱后的位置，任何圖形都可以有軸對稱對應的位置關系；軸對稱圖形強調的是圖形本身對不對稱，只有部分圖形是軸對稱圖形。
注：上圖中第一個圓是軸對稱圖形，我們都無異議。看第二個圓，它通過中間的對稱軸然后得到后面的第二個一模一樣的圓，它們形狀大小相同。
5、線段的垂直平分線
（1）經過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，?叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）。
（2）線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；
反過來，?與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。
三、經驗之談：
本節中我們要學會畫出一個圖形的軸對稱圖形，在以后的幾何題型中也要學會運用圖形軸對稱、垂直平分的性質，這類知識要活學活用。
角平分線的性質
一、本節學習指導
角平分線的性質有助于我們解決三角形全等相關題型。其實不僅僅是角平分線，還有三角形的中位線、高、中心都是解決三角形題目有效的途徑。本節有配套免費學習視頻。
二、知識要點
1、角平分線的定義：從一個角的頂點出發把一個角分成兩個相等的角的射線叫做角的平分線。
如下圖：OC平分∠AOB
∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
2、角的平分線的性質：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。【重點】
如第一個圖：
∵OC平分∠AOB（或∠1=∠2），PE⊥OA,PD⊥OB
∴PD=PE,此時我們知道△OPE≌△OPD（直角三角形 斜邊是OP即公共邊，直角邊斜邊）
3、角的平分線的判定：角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。
如第一個圖：
∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE
∴OC平分∠AOB（或∠1=∠2）
4、線段的中點的定義：把一條線段分成兩條相等的線段的點叫做線段的中點。
如下圖：
∵C是AB的中點
∴AC=BC
5、垂直的定義：兩條直線相交所成的四個角中有一個是直角，這兩條直線互相垂直。
如圖：【重點】
∵AB⊥CD
∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90°
或∵∠AOC=90°
∴AB⊥CD
注意：要判斷兩條直線垂直，只要知道這兩條相交直線所形成的四個角中的
一個角是直角就可以了。反過來，兩條直線互相垂直，它們的四個交角都是直角。
6、全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。
∵△ABC≌△A&39;B&39;C&39;
∴AB=A&39;B&39;,BC=B&39;C&39;,AC=A&39;C&39;; ∠A=∠A&39;, ∠B=∠B&39;, ∠C=∠C&39;
三、經驗之談：
本節的重點是第2點，角平分線的性質，這條性質在以后的幾何題型中用的非常多，本章的三角形全等也不例外，如果我們碰到題目中出現角平分線，我們要會利用它的性質。告訴大家一個秘密：在幾何題型中，99%的題目給出的條件都是要用到的，除非此題屬于難題范圍，故意給些誤導性條件。
全等三角形的判定
一、本節學習指導
本節較難，考試題目千變萬化，更是容易和其他幾何聯合起來出題，同學們要牢牢的掌握好。有什么困難可以發在加速度學習網上，讓我們一起討論。本節有配套免費學習視頻。
二、知識要點
1、兩個三角形全等的條件【重點】
（1）判定1--邊邊邊公理
三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成&34;邊邊邊&34;或&34;SSS&34;.
&34;邊邊邊&34;公理的實質：三角形的穩定性（用三根木條釘三角形木架）。
注意：邊邊邊是三條邊都相等，并且在書寫時邊與邊要對應書寫。在已知兩邊相等的情況下優先考慮。
（2）判定2--邊角邊公理
兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成&34;邊角邊&34;或&34;SAS&34;.
注意：邊角邊中，角是指兩對應邊的夾角，如上圖中，同樣在書寫時對應邊角對準。比如上圖中正確的寫法是：△ABC≌△A&39;B&39;C&39;
（3）判定3--角邊角公理
兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。簡寫為&34;角邊角&34;或&34;ASA&34;.
注意：角邊角中，邊是兩個角中間時，才能描述為角邊角，否則就是下面的角角邊。
（4）判定4--角角邊推論
兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。簡稱&34;角角邊&34;或&34;AAS&34;.
（5）直角三角形全等的判定--斜邊直角邊公理
斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。簡寫成&34;斜邊直角邊&34;或&34;HL&34;.
（6）判定直角三角形全等的方法：
①一般三角形全等的判定方法都適用；
②斜邊-直角邊公理
2、證明三角形全等一般有以下步驟：
（1）讀題：明確題中的已知和求證；
（2）要觀察待證的線段或角，在哪兩個可能全等的三角形中
（3）、分析要證兩個三角形全等，已有什么條件，還缺什么條件。有公共邊的，公共邊一定是對應邊， 有公共角的，公共角一定是對應角，有對頂角，對頂角也是對應角。
（4）、先證明缺少的條件
（5）、再證明兩個三角形全等
（要符合書寫步驟：先寫在某兩個三角形中、然后寫條件，再寫結論）
三、經驗之談：
對于常見的四種判定三角形全等的方法我們都要掌握，并且知道&34;邊&34;是什么邊，&34;角&34;是什么角，上面中并沒有&34;邊邊角&34;這點要記牢了。本節是非常重要的一章節，同學們一定要多做練習題，不會的要向老師及時請教。
全等三角形
一、本節學習指導
這一節我們來認識全等三角形，這一節我們要重點掌握三角形全等的表示方法，以及全等三角形的性質。本節有配套學習視頻。
二、知識要點
1、全等形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。
注：完全能重合的圖形那么固然：形狀完全相同，大小固然相等，對應角也相等。
2、全等三角形的概念：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。用符號&34;≌&34;表示，讀作：全等。
3、全等三角形的表示：
（1）兩個全等的三角形重合時：重合的頂點叫做對應頂點；重合的邊叫做對應邊；重合的角叫做對應角。
（2）如圖，△ABC和△A&39;B&39;C&39;全等，記作△ABC≌△A&39;B&39;C&39;.通常對應頂點字母寫在對應位置上。
注意：在寫三角形全等的時候一定要把相對應角的頂點 對應寫，比如上圖中寫成△ABC≌△A&39;B&39;C&39;,而不能寫成△ACB≌△A&39;B&39;C&39;,因為C對應的是C&39;所以這種寫法是錯誤的。
4、全等三角形的性質：
（1）全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。
（2）全等三角形的周長、面積相等。
5、全等變換：只改變位置，不改變形狀和大小的圖形變換。
平移、翻折（對稱）、旋轉變換都是全等變換。
6、全等三角形常見類型
翻折法：找到中心線經此翻折后能互相重合的兩個三角形，易發現其對應元素
旋轉法：兩個三角形繞某一定點旋轉一定角度能夠重合時，易于找到對應元素
平移法：將兩個三角形沿某一直線推移能重合時也可找到對應元素
三、經驗之談：
本節開始我們學習全等三角形，全等三角形在初中幾何中應用非常廣泛，同學們要認真學習。
李原遠