分解因式的常用方法

　　一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

　　本節(jié)較為復(fù)雜，因式分解大多講究技巧，于是我們要多做練習(xí)，慢慢總結(jié)。本節(jié)有配套學(xué)習(xí)視頻

　　二、知識要點

　　1、 因式分解的思路與解題步驟：

　　（1）先看各項有沒有公因式，若有，則先提取公因式；

　　（2）再看能否使用公式法；

　　（3）用分組分解法，即通過分組后提取各組公因式或運用公式法來達到分解的目的；

　　（4）因式分解的最后結(jié)果必須是幾個整式的乘積，否則不是因式分解；

　　（5）因式分解的結(jié)果必須進行到每個因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止。

　　2、 提公共因式法

　　（1）、 如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。

　　 如：ab+ac=a（b+c）

　　（2）、概念內(nèi)涵：

　　（1）因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是&34;積&34;;

　　（2）公因式可能是單項式，也可能是多項式；

　　（3）提公因式法的理論依據(jù)是乘法對加法的分配律，即： ma+mb-mc=m（a+b-c）

　　（3）、易錯點：

　　（1）注意項的符號與冪指數(shù)是否搞錯；

　　（2）公因式是否提&34;干凈&34;;

　　（3）多項式中某一項恰為公因式，提出后，括號中這一項為+1,不漏掉。

　　3、 運用公式法

　　（1）、如果把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項式分解因式。這種分解因式的方法叫做運用公式法。

　　（2）、主要公式：

　　（1）平方差公式：

　　（2）完全平方公式：

　　（3）、易錯點： 因式分解要分解到底。如就沒有分解到底。

　　4、怎樣選擇公式

　　（1）、平方差公式：

　　 ①應(yīng)是二項式或視作二項式的多項式；

　　 ②二項式的每項（不含符號）都是一個單項式（或多項式）的平方；

　　 ③二項是異號。

　　（2）、完全平方公式：

　　 ①應(yīng)是三項式；

　　 ②其中兩項同號，且各為一整式的平方；

　　 ③還有一項可正負，且它是前兩項冪的底數(shù)乘積的2倍。

　　5、 分組分解法：

　　（1）、分組分解法：利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。

　　 如：

　　（2）、概念內(nèi)涵：

　　分組分解法的關(guān)鍵是如何分組，要嘗試通過分組后是否有公因式可提，并且可繼續(xù)分解，分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式。

　　（3）、 注意： 分組時要注意符號的變化。

　　5、十字相乘法

　　有些二次三項式，可以把第一項和第三項的系數(shù)分別分解為兩個數(shù)之積，然后借助畫十字交叉線的方法，把二次三項式進行因式分解，這種方法叫十字相乘法。

　　簡單的說十字相乘法就是：十字左邊相乘等于二次項系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項，交叉相乘再相加等于一次項系數(shù)。

　　注意：十字相乘法不是適合所有二次三項式，只有在一次項系數(shù)和二次項系數(shù)以及常數(shù)項存在一種特殊關(guān)系時才能用，這個特殊關(guān)系我們通過例題來說明：

　　分析：

　　第一步：觀察常數(shù)項-7和二次項系數(shù)1以及一次項系數(shù)6我們可以得出：因為-7=7×-1

　　所以把-7列豎式表示為7、-1,如上圖；二次項系數(shù)1=1×1,所以列豎式 1、1我們把它們交叉相乘然后相加得到7-1=6,我們發(fā)現(xiàn)剛好是一次項系數(shù)于是決定用十字相乘法。這一步也是能不能使用十字相乘法的條件。

　　第二步：我們把橫著的第一排1、7用括號括起來寫成（1x+7），1為x的系數(shù)，把第二排1、-1也用括號括起來（1x-1），最后把兩個括號括起來的相乘就得到最終結(jié)果。

　　第三步：寫出分解結(jié)果得：（1x+7）×（1x-1）

　　注意：我們在用十字相乘法之前一定要根據(jù)第一步判斷是否能用十字相乘法。我們在分解常數(shù)項和二次項系數(shù)時變化多端，目的是交叉相乘之和要等于一次項系數(shù)，如何分配常數(shù)項和二次項系數(shù)要根據(jù)情況而定。十字相乘法在對系數(shù)分解時易出錯，因此我們要小心；分解的結(jié)果與原式不等，這時通常采用多項式乘法還原后檢驗分解的是否正確。

　　易錯點：

　　（1）十字相乘法在對系數(shù)分解時易出錯；

　　（2）分解的結(jié)果與原式不等，這時通常采用多項式乘法還原后檢驗分解的是否正確。

　　三、經(jīng)驗之談：

通常，把一個多項式分解因式，應(yīng)先提公因式，再應(yīng)用公式法，或者其他方法。進行多項式因式分解時，必須把每一個因式都分解到不能再分解為止。

整式的除法

　　一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

　　本節(jié)中我們要記住平方差公式、完全平方差公式，并且要會逆運算的運用，這點在因式分解中經(jīng)常用到。本節(jié)同學(xué)們要多看，不要忘記常見的公式。本節(jié)有配套免費學(xué)習(xí)視頻。

　　二、知識要點

　　1、整式乘法

　　（1）、單項式除法單項式

　　單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式；

　　（2）、多項式除以單項式

　　多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加，其特點是把多項式除以單項式轉(zhuǎn)化成單項式除以單項式，所得商的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同，另外還要特別注意符號。

　　2、平方差公式

　　（1）、平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差，即 。

　　其結(jié)構(gòu)特征是：

　 　①公式左邊是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項相同，第二項互為相反數(shù)；

　　 ②公式右邊是兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方之差。

　　3、完全平方公式

　　（1）、完全平方公式：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍，即 ；

　　口訣：首平方，尾平方，2倍乘積在中央；

　　（2）、結(jié)構(gòu)特征：

　 　 ①公式左邊是二項式的完全平方；

　 　②公式右邊共有三項，是二項式中二項的平方和，再加上或減去這兩項乘積的2倍。

　　（3）、在運用完全平方公式時，要注意公式右邊中間項的符號，以及避免出現(xiàn) 這樣的錯誤。

　　添括號法則：添正不變號，添負各項變號，去括號法則同樣

　　4、同底數(shù)冪的除法

　　（1）、 同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即 （a≠0,m、n都是正數(shù)，且m>n）。

　　（2）、 在應(yīng)用時需要注意以下幾點：

　 　①法則使用的前提條件是&34;同底數(shù)冪相除&34;而且0不能做除數(shù)，所以法則中a≠0.

　 　②任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1,即a0=1(a≠0)，100=1，（-2.5）0=1.而00無意義

　　 ③任何不等于0的數(shù)的-p次冪（p是正整數(shù)），等于這個數(shù)的p的次冪的倒數(shù)，即 （ a≠0,p是正整數(shù)）， 而0-1,0-3都是無意義的；當(dāng)a>0時，a-p的值一定是正的； 當(dāng)a<0時，a-p的值可能是正也可能是負的，如 。

　　 ④運算要注意運算順序。

　　5、 分解因式

　　（1）、把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式。

　　（2）、因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系。

　　（3）、因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系：整式乘法是把幾個整式相乘，化為一個多項式；因式分解是把一個多項式化為幾個因式相乘。

　　三、經(jīng)驗之談：

　　如何記住上面的公式呢，我們可以利用文字理解來幫助記憶。平方差是先平方后作差： ；完全平方差（和）是完全把差（和）平方了即：，

整式的乘法

　　一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

　　整式的乘法是整數(shù)運算的主要內(nèi)容，是進一步學(xué)習(xí)因式分解、分式、方程以及其它數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)過程中只要能理解并運用數(shù)學(xué)常用方法&34;整體代入&34;便可學(xué)好本節(jié)，本節(jié)同學(xué)們要多做練習(xí)，達到很多整式乘法都能口算為止。本節(jié)有配套學(xué)習(xí)視頻。

　　二、知識要點

　　1、 單項式乘法法則：單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式。

　　注意：①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號，再計算絕對值。這時容易出現(xiàn)的錯誤的是，將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆；

　 　②相同字母相乘，運用同底數(shù)的乘法法則；

　　 ③只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個因式；

　　 ④單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用；

　　 ⑤單項式乘以單項式，結(jié)果仍是一個單項式。

　　2、單項式與多項式相乘

　　單項式乘以多項式，是通過乘法對加法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式，即單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。

　　注意：①單項式與多項式相乘，積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同；

　　 ②運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號；

　　 ③在混合運算時，要注意運算順序。

　　3、多項式與多項式相乘

　　多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

　　注意：①多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法是：在沒有合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原兩個多項式項數(shù)的積；

　　 ②多項式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類項；

　　三、經(jīng)驗之談：

　　其實本節(jié)的難度并不大，很多同學(xué)出錯是因為粗心，做本章節(jié)題目時我們一定要把眼睛放大看準(zhǔn)了，數(shù)學(xué)可是非常了不起的學(xué)科哦，是唯一能全方位訓(xùn)練人體大腦的學(xué)科。同學(xué)們從今往后也要做一個細心的人哦！很多同學(xué)可能會說：&34;我天生就粗心&34;,其實粗心和細心之間區(qū)別就在于&34;心&34;而不在于&34;先天、后天&34;.有個笑話：劉備媽媽問劉備為什么沒有考好，劉備答：我笨。劉備媽媽就問：&34;笨是先天的呢還是后天的？劉備頓時醒悟，然則考上北大，當(dāng)然帝王。

同底數(shù)冪的乘法

　　一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

　　 理解冪的乘方和積的乘方法則是至關(guān)重要的，知識點很好理解，考察的時候經(jīng)常和其他知識點結(jié)合命題，有時也單獨命題，但基本都很容易，一般是選擇題、填空題，同學(xué)們要牢牢掌握本節(jié)涉及的公式。本節(jié)有學(xué)習(xí)視頻.

　　二、知識要點

　　三、經(jīng)驗之談：

　　同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方這三個運算法則是整式乘法的基礎(chǔ)，也是整式乘法的主要依據(jù)。所以要求每個學(xué)生都能掌握三個運算法則的數(shù)學(xué)表達式： （&34;m、n都為正整數(shù)）&34;，文字表述為&34;同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方&34;。

次函數(shù)

　　一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

　　本節(jié)的知識相當(dāng)重要，同學(xué)們要引起重視，如果給出一個式子讓其判斷是不是一次函數(shù)，判斷方法我們要掌握。關(guān)于一次函數(shù)的解析式的幾種求法我們要會，特別是最常用的&34;待定系數(shù)法&34;。本節(jié)有配套學(xué)習(xí)視頻。

　　二、知識要點

　　1、一次函數(shù)：形如y=kx+b （k≠0, k, b為常數(shù)）的函數(shù)。

　　注意：（1）要使y=kx+b是一次函數(shù)，必須k≠0.如果k=0,則kx=0,y=kx+b就不是一次函數(shù)；

　　（2）當(dāng)b=0時，y=kx,y叫x的正比例函數(shù)。

　　2、圖象：一次函數(shù)的圖象是一條直線。【重點】

　　（1）兩個常有的特殊點：與y軸交于（0,b）；與x軸交于（-b/k,0）

　　（2）由圖象可以知道，直線y=kx+b與直線y=kx平行，例如直線：y=2x+3與直線y=2x-5都與直線y=2x平行。

　　3、性質(zhì)： 【重點】

　　（1）圖象的位置：

　　（2）增減性

　　k>0時，y隨x增大而增大

　　k<0時，y隨x增大而減小

　　4.求一次函數(shù)解析式的方法 【重點】

　　（1）由已知函數(shù)推導(dǎo)或推證

　　（2）由實際問題列出二元方程，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，此類題一般在沒有寫出函數(shù)解析式前無法（或不易）判斷兩個變量之間具有什么樣的函數(shù)關(guān)系。

　　（3）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式。（最常用）

　　&34;待定系數(shù)法&34;的基本思想就是方程思想，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程（組）來解決，題目的已知恒等式中含有幾個等待確定的系數(shù)，一般就需列出幾個含有待定系數(shù)的方程，本單元構(gòu)造方程一般有下列幾種情況：

　　 ①利用一次函數(shù)的定義

　 　x的系數(shù)不為0,x的最高次數(shù)為1,構(gòu)造方程組。

　 　②利用一次函數(shù)y=kx+b中常數(shù)項b恰為函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)，即由b來定點；直線y=kx+b平行于y=kx,即由k來定方向 .

　　 ③利用函數(shù)圖象上的點的橫、縱坐標(biāo)滿足此函數(shù)解析式構(gòu)造方程。

　 　④利用題目已知條件直接構(gòu)造方程 .

　　三、經(jīng)驗之談：

　　1、判斷一個式子是不是一次函數(shù)，首先看&34;k&34;是否等于零，其次看最高次項是否等于1次。

　　2、給出一個一次函數(shù)，我們要能迅速的畫出圖像，一看朝向，如果k>0,圖像&34;向上爬&34;,k<0,圖像&34;向下滑&34;;二看截距，截距就是|b|,如果b>0,圖像和y軸的焦點在y的正半軸，如果b<0,則在y的負半軸。一次函數(shù)的圖像是一條直線，因此我們只要定出兩點即可，兩點確定一條直線。

　　3、一次函數(shù)的增減性很簡單，當(dāng)函數(shù)圖像&34;向上爬&34;時，y隨x的增大而增大；當(dāng)函數(shù)圖象&34;向下滑&34;時，y隨x的增大而減小。

函數(shù)

　　一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

　　本節(jié)開始我們接觸函數(shù)知識，這里我們要理解函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法、作圖方法。希望同學(xué)們多動手畫圖，多思考，多做練習(xí)題。本節(jié)有配套學(xué)習(xí)視頻。

　　二、知識要點

　　1、變量：在一個變化過程中可以取不同數(shù)值的量，函數(shù)中用x表示。

　　常量：在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量，往往用c來表示。

　　2、函數(shù)：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y,并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。

　　注：函數(shù)是一種變化關(guān)系，這里我們舉個例子來幫助理解，比如：我們由上海到北京可以選擇坐飛機或者火車，如果選擇坐飛機，相應(yīng)會省時間，如果選擇坐火車，相應(yīng)會省錢。這種變化關(guān)系就可以說是函數(shù)關(guān)系，因變量y總是隨著自變量x的變化而變化，x變了，y就會有唯一的一個值來回應(yīng)x的變化。

　　注意：x變了，y就會有唯一的一個值與之對應(yīng)。比如：x2=y,當(dāng)x=±2時y都等于4,x可以是多個值，而y與之對應(yīng)變化的只有一個值，簡稱&34;多對一&34;.判斷Y是否為X的函數(shù)，只要看X取值確定的時候，Y是否有唯一確定的值與之對應(yīng)

　　例：判斷下列的圖像不是表示函數(shù)的是：

　　分析：上面四個圖，看似都差不多，到底那一個圖表示的不是函數(shù)呢，我們根據(jù)：看X取值確定的時候，Y是否有唯一確定的值與之對應(yīng)，再看下面的分析圖。只要在x軸上找到一個x值使得函數(shù)有2個以上的值與之對應(yīng)，那么這個圖就不是函數(shù)的圖，如下圖A.

　　3、定義域：一般的，一個函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域。

　　4、確定函數(shù)定義域的方法：

　　 （1）關(guān)系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)；

　　 （2）關(guān)系式含有分式時，分式的分母不等于零；

　　 （3）關(guān)系式含有二次根式時，被開放方數(shù)大于等于零；

　　 （4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零；

　 　（5）實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。

　　5、函數(shù)的解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做函數(shù)的解析式

　　6、函數(shù)的圖像

　　一般來說，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象。

　　7、描點法畫函數(shù)圖形的一般步驟

　　 第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值）；

　　 第二步：描點（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點）；

　　 第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。

　　例：畫出函數(shù)y=2x的圖像

　　第一步：取點，（一般情況下，取以0為中心的點）

　　第二步：描點，（根據(jù)坐標(biāo)知識準(zhǔn)確標(biāo)出上面取的點）

　　第三步：連線，（用平滑的線連接起來）

　　8、函數(shù)的表示方法

　　（1）列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律。

　　（2）解析式法：簡單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。

　　（3）圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。

　　三、經(jīng)驗之談：

　　1、如果給出一組圖，我們要能正確的判斷是否是函數(shù)的圖，精髓在于&34;唯一&34;二字。2、其次我們要懂得畫函數(shù)圖象的步驟和技巧。3、給出一個函數(shù)關(guān)系式我們要保證這個關(guān)系有意義，以此來快速求出定義域（x的取值范圍）。

實數(shù)的分類

　　一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

　　本節(jié)本身并不難，同學(xué)們只要明白無理數(shù)、實數(shù)、絕對值的概念，再做適當(dāng)練習(xí)題就能完全掌握。我們要注意理解絕對值的幾何意義。本節(jié)有配套學(xué)習(xí)視頻。

　　二、知識要點

　　1、無理數(shù)

　　（1）無限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)叫做無理數(shù)；

　 　注意：它必須滿足&34;無限&34;以及&34;不循環(huán)&34;這兩個條件。在初中階段，無理數(shù)的表現(xiàn)形式主要包含下列幾種：（1）特殊意義的數(shù)，如：圓周率以及含有圓周率的一些數(shù)；（2）開方開不盡的數(shù)，如：根號2,根號3等；（3）特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)：如：2.010 010 001 000 01…（兩個1之間依次多1個0）等。應(yīng)當(dāng)特別注意的是：帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如：根號9等；無理數(shù)也不一定帶根號，如：圓周率

　　2、有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別：

　　（1）有理數(shù)指的是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則是無限不循環(huán)小數(shù)；

　　（2）所有的有理數(shù)都能寫成分數(shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1的分數(shù)），而無理數(shù)則不能寫成分數(shù)形式。

　　3、實數(shù)

　　（1）有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。在實數(shù)中，沒有最大的實數(shù)，也沒有最小的實數(shù)；絕對值最小的實數(shù)是0,最大的負整數(shù)是-1.

　　（2）實數(shù)的性質(zhì)：實數(shù)a的相反數(shù)是-a;實數(shù)a的倒數(shù)是1/a（a≠0）；實數(shù)a的絕對值

它的幾何意義是：在數(shù)軸上的點到原點的距離。

　　注意：絕對值的幾何意義是：在數(shù)軸上的點到原點的距離，比如|5|表示的是數(shù)軸上到原點距離為5的所有點，即有兩個：-5,5,這兩點到原點的距離都為5,所以|±5|=5.

　　（3）實數(shù)的大小比較法則：實數(shù)的大小比較的法則跟有理數(shù)的大小比較法則相同：即正數(shù)大于0,0大于負數(shù)；正數(shù)大于負數(shù)；兩個正數(shù)，絕對值大的就大，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。（在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)）。對于一些帶根號的無理數(shù)，我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。

　　（4）實數(shù)的運算：在實數(shù)范圍內(nèi)，可以進行加、減、乘、除、乘方、開方六種運算。運算法則和運算順序與有理數(shù)的一致。

　　三、經(jīng)驗之談：

　　本節(jié)考得最多的是無理數(shù)的概念和絕對值的幾何意義。無理數(shù)常見的幾種表現(xiàn)方式我們要熟悉，注意：無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)。其次我們要正確的理解絕對值的幾何意義，它表示的是數(shù)軸上的點到數(shù)軸原點的距離，我們都知道數(shù)軸分為正負兩半，那么不管怎樣總有兩個數(shù)字相等符號相反的兩個數(shù)到原點的距離相等。

平方根和立方根

　一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

　　平方根是實數(shù)章節(jié)的基礎(chǔ)知識，也是以后學(xué)習(xí)一元二次方程等知識的必備基礎(chǔ)，中考的必考內(nèi)容之一，此節(jié)我們要掌握平方根和立方根的概念。本節(jié)有配套免費學(xué)習(xí)視頻。

　二、知識要點

　　3、立方根

　　（1）如果x的立方等于a,那么，就稱x是a的立方根，或者三次方根。讀作，3次根號a.注意：這里的3表示的是開根的次數(shù)。一般的，平方根可以省略不寫根的次數(shù)，但是，當(dāng)根的次數(shù)在兩次以上的時候，則不能省略。

　　（2）平方根與立方根：每個數(shù)都有立方根，并且一個數(shù)只有一個立方根；但是，并不是每個數(shù)都有平方根，只有非負數(shù)才能有平方根。

　三、經(jīng)驗之談：

　　實數(shù)是整個數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)，對于初學(xué)者來講，有些概念比較抽象、難懂，沒關(guān)系，慢慢來，對于平方根和立方根的基礎(chǔ)題型我們要會做，本節(jié)題目在后面變化多端，多做練習(xí)相信一定能理解的。

等腰三角形

　一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

　　本節(jié)中我們要掌握等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和特征。這一節(jié)的知識在后面用得非常多，當(dāng)然也不用刻意去做練習(xí)增強這部分記憶，后面我們在做題中用多了也就理解記憶了，慢慢的就把這部分知識當(dāng)成一種習(xí)慣了。

　二、知識要點

　　1、等腰三角形

　　有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。如圖：相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊。兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角。

　　2、等腰三角形的性質(zhì)【重點】

　　性質(zhì)1:等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成&34;等邊對等角&34;）

　　性質(zhì)2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

　　注：（1）等腰三角形是軸對稱圖形。

　　（2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對應(yīng)相等。

　　（3）在全等三角形中，相等的邊對應(yīng)的角相等，反之也成立。

　　3、等腰三角形的判定定理、

　　如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成&34;等角對等邊&34;）。

　　4、等邊三角形

　　三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形。

　　5、等邊三角形的性質(zhì)

　　等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，?并且每一個內(nèi)角都等于60°

　　6、等邊三角形的判定方法

　　（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

　　（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；

　　（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

　　7、常用結(jié)論【重點】

　　（1）在直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半。

　　（2）三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離相等，即為三角形的內(nèi)心。

　　（3）等邊三角形中三個邊的中垂線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。

　　 上圖中一一用圖形展現(xiàn)了上面的結(jié)論，希望能幫助同學(xué)們理解這些里結(jié)論。下面對應(yīng)解釋一下。

　　（1）直角三角形ACB中，∠B=30°，所對的邊AC=（1/2）AB

　　（2）三角形ABC中，三個內(nèi)角平分線交與點O,則有OE=OF=OD.適用于任何三角形。

　　（3）在等邊三角形中，三邊的中垂線AD、BE、CF交于一點，并且三個頂點ABC到交點的距離相等。

　　三、經(jīng)驗之談：

　　本節(jié)的知識還算比較簡單，不過同學(xué)們要善于觀察圖形，總結(jié)經(jīng)驗。這里提醒一下，很多同學(xué)在做幾何題的時候喜歡&34;猜&34;，比如：題目中并沒有告訴他一條線是一個角的角平分線，他就當(dāng)成角平分線來用了，這是不對的哦！如果是已經(jīng)證明的真理我們直接可以拿過來用，否則千萬不要亂&34;猜&34;!當(dāng)然在考試中，如果遇到實在不會做的，也是下下策。

軸對稱圖形的變換

　一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

　　本節(jié)知識相對還是比較好學(xué)，同學(xué)們多動動手和觀察，本節(jié)配套免費學(xué)習(xí)視頻。

　二、知識要點

　　1、軸對稱變換：由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換。?

　　 注：成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看著由另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換后得到。

　　2、軸對稱變換的性質(zhì)

　　（1）經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣

　　（2）經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關(guān)于對稱軸的對稱點。

　　（3）連接任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分。

　　3、作一個圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形【重點】

　　（1）作出一些關(guān)鍵點或特殊點的對稱點。

　　（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對稱點，即得到原圖形的軸對稱圖形。

　　例：畫出△ABC的軸對稱變換后的得到的圖形。

　　分析：我們找到能決定形狀的點，

　　 ① 找到點A、B、C,

　 　② 接著過點A、B、C分別作對稱軸的垂線，并使得垂足到兩個兩個點的的距離相等，如：B、B&39;到對稱軸的距離相等

　 　③ 連接經(jīng)過軸對稱變換后的幾個點A&39;B&39;C&39;,得到△A&39;B&39;C&39;,完畢。

　　4、找一點使距離之和最短【重點】

　　條件：如下左圖，A、B是直線L同旁的兩個定點。

　　問題：在直線L上確定一點P,使PA+PB的值最小。

　　方法：作點A關(guān)于直線L的對稱點A&39;,連結(jié)A&39;B交L于點P,則PA+PB=A&39;B的值最小。

　　注：這個知識點非常有技巧，以后遇到的很多題型如果會運用這個方法就省很多事。

　　用坐標(biāo)表示軸對稱

　　5、關(guān)于坐標(biāo)軸對稱【重點】

　　點P（x,y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是（x,-y）

　　點P（x,y）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是（-x,y）

　　點P（x,y）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（-x,-y）

　　點P（x,y）關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線y=x對稱的點的坐標(biāo)是（y,x）

　　三、經(jīng)驗之談：

　　上面的總結(jié)已經(jīng)淋漓盡致了，基本上每個知識點都說的很清楚，剩下的就看同學(xué)們愿不愿意思考和動手了。上圖2中，同學(xué)們想一想P（x,y）關(guān)于y=-x軸對稱點P2的坐標(biāo)是什么。

軸對稱

　一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

　　本節(jié)較簡單，同學(xué)們重點理解兩點，第一：軸對稱圖形和圖形軸對稱的區(qū)別；第二：正確畫出一個圖形軸對稱的結(jié)果。本節(jié)有配套免費學(xué)習(xí)視頻。

　二、知識要點

　　1、軸對稱圖形

　　如果一個圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，?這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。有的軸對稱圖形的對稱軸不止一條，如圓就有無數(shù)條對稱軸）

　　2、軸對稱

　　有一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，?那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點。兩個圖形關(guān)于直線對稱也叫做軸對稱。

3、圖形軸對稱的性質(zhì)

　　如果兩個圖形成軸對稱，?那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線。

　　4、軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別

　　軸對稱是指兩個圖形之間的形狀與位置關(guān)系。

　　軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形。

　　注意：軸對稱強調(diào)的是對稱后的位置，任何圖形都可以有軸對稱對應(yīng)的位置關(guān)系；軸對稱圖形強調(diào)的是圖形本身對不對稱，只有部分圖形是軸對稱圖形。

　　注：上圖中第一個圓是軸對稱圖形，我們都無異議。看第二個圓，它通過中間的對稱軸然后得到后面的第二個一模一樣的圓，它們形狀大小相同。

　　5、線段的垂直平分線

　　（1）經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，?叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）。

　　（2）線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；

　　 反過來，?與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。

　三、經(jīng)驗之談：

　　本節(jié)中我們要學(xué)會畫出一個圖形的軸對稱圖形，在以后的幾何題型中也要學(xué)會運用圖形軸對稱、垂直平分的性質(zhì)，這類知識要活學(xué)活用。

角平分線的性質(zhì)

　　一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

　　角平分線的性質(zhì)有助于我們解決三角形全等相關(guān)題型。其實不僅僅是角平分線，還有三角形的中位線、高、中心都是解決三角形題目有效的途徑。本節(jié)有配套免費學(xué)習(xí)視頻。

　　二、知識要點

　　1、角平分線的定義：從一個角的頂點出發(fā)把一個角分成兩個相等的角的射線叫做角的平分線。

　　如下圖：OC平分∠AOB

　　∵OC平分∠AOB

　　∴∠AOC=∠BOC

　　2、角的平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。【重點】

　　如第一個圖：

　　∵OC平分∠AOB（或∠1=∠2），PE⊥OA,PD⊥OB

　　∴PD=PE,此時我們知道△OPE≌△OPD（直角三角形 斜邊是OP即公共邊，直角邊斜邊）

　　3、角的平分線的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。

　　如第一個圖：

　　∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE

　　∴OC平分∠AOB（或∠1=∠2）

　　4、線段的中點的定義：把一條線段分成兩條相等的線段的點叫做線段的中點。

　　如下圖：

　　∵C是AB的中點

　　∴AC=BC

　　5、垂直的定義：兩條直線相交所成的四個角中有一個是直角，這兩條直線互相垂直。

　　如圖：【重點】

　　∵AB⊥CD

　　∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90°

　　或∵∠AOC=90°

　　∴AB⊥CD

　　注意：要判斷兩條直線垂直，只要知道這兩條相交直線所形成的四個角中的

　　一個角是直角就可以了。反過來，兩條直線互相垂直，它們的四個交角都是直角。

　　6、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等。

　　∵△ABC≌△A&39;B&39;C&39;

　　∴AB=A&39;B&39;,BC=B&39;C&39;,AC=A&39;C&39;; ∠A=∠A&39;, ∠B=∠B&39;, ∠C=∠C&39;

　　三、經(jīng)驗之談：

　　本節(jié)的重點是第2點，角平分線的性質(zhì)，這條性質(zhì)在以后的幾何題型中用的非常多，本章的三角形全等也不例外，如果我們碰到題目中出現(xiàn)角平分線，我們要會利用它的性質(zhì)。告訴大家一個秘密：在幾何題型中，99%的題目給出的條件都是要用到的，除非此題屬于難題范圍，故意給些誤導(dǎo)性條件。

全等三角形的判定

　一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

　　本節(jié)較難，考試題目千變?nèi)f化，更是容易和其他幾何聯(lián)合起來出題，同學(xué)們要牢牢的掌握好。有什么困難可以發(fā)在加速度學(xué)習(xí)網(wǎng)上，讓我們一起討論。本節(jié)有配套免費學(xué)習(xí)視頻。

　二、知識要點

　　1、兩個三角形全等的條件【重點】

　　（1）判定1--邊邊邊公理

　　 三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成&34;邊邊邊&34;或&34;SSS&34;.

　　 &34;邊邊邊&34;公理的實質(zhì)：三角形的穩(wěn)定性（用三根木條釘三角形木架）。

　　 注意：邊邊邊是三條邊都相等，并且在書寫時邊與邊要對應(yīng)書寫。在已知兩邊相等的情況下優(yōu)先考慮。

　　（2）判定2--邊角邊公理

　　 兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成&34;邊角邊&34;或&34;SAS&34;.

　 　注意：邊角邊中，角是指兩對應(yīng)邊的夾角，如上圖中，同樣在書寫時對應(yīng)邊角對準(zhǔn)。比如上圖中正確的寫法是：△ABC≌△A&39;B&39;C&39;

　　（3）判定3--角邊角公理

　　 兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。簡寫為&34;角邊角&34;或&34;ASA&34;.

　　 注意：角邊角中，邊是兩個角中間時，才能描述為角邊角，否則就是下面的角角邊。

　　（4）判定4--角角邊推論

　　 兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。簡稱&34;角角邊&34;或&34;AAS&34;.

　　（5）直角三角形全等的判定--斜邊直角邊公理

　　 斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。簡寫成&34;斜邊直角邊&34;或&34;HL&34;.

　　（6）判定直角三角形全等的方法：

　　 ①一般三角形全等的判定方法都適用；

　　 ②斜邊-直角邊公理

　　2、證明三角形全等一般有以下步驟：

　　（1）讀題：明確題中的已知和求證；

　　（2）要觀察待證的線段或角，在哪兩個可能全等的三角形中

　　（3）、分析要證兩個三角形全等，已有什么條件，還缺什么條件。有公共邊的，公共邊一定是對應(yīng)邊， 有公共角的，公共角一定是對應(yīng)角，有對頂角，對頂角也是對應(yīng)角。

　　（4）、先證明缺少的條件

　　（5）、再證明兩個三角形全等

　　（要符合書寫步驟：先寫在某兩個三角形中、然后寫條件，再寫結(jié)論）

　三、經(jīng)驗之談：

　　對于常見的四種判定三角形全等的方法我們都要掌握，并且知道&34;邊&34;是什么邊，&34;角&34;是什么角，上面中并沒有&34;邊邊角&34;這點要記牢了。本節(jié)是非常重要的一章節(jié)，同學(xué)們一定要多做練習(xí)題，不會的要向老師及時請教。

全等三角形

　　一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

　　這一節(jié)我們來認識全等三角形，這一節(jié)我們要重點掌握三角形全等的表示方法，以及全等三角形的性質(zhì)。本節(jié)有配套學(xué)習(xí)視頻。

　　二、知識要點

　　1、全等形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。

　　 注：完全能重合的圖形那么固然：形狀完全相同，大小固然相等，對應(yīng)角也相等。

　　2、全等三角形的概念：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。用符號&34;≌&34;表示，讀作：全等。

　　3、全等三角形的表示：

　　（1）兩個全等的三角形重合時：重合的頂點叫做對應(yīng)頂點；重合的邊叫做對應(yīng)邊；重合的角叫做對應(yīng)角。

　　（2）如圖，△ABC和△A&39;B&39;C&39;全等，記作△ABC≌△A&39;B&39;C&39;.通常對應(yīng)頂點字母寫在對應(yīng)位置上。

　　 注意：在寫三角形全等的時候一定要把相對應(yīng)角的頂點 對應(yīng)寫，比如上圖中寫成△ABC≌△A&39;B&39;C&39;,而不能寫成△ACB≌△A&39;B&39;C&39;,因為C對應(yīng)的是C&39;所以這種寫法是錯誤的。

　　4、全等三角形的性質(zhì)：

　　（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等。

　　（2）全等三角形的周長、面積相等。

　　5、全等變換：只改變位置，不改變形狀和大小的圖形變換。

　　 平移、翻折（對稱）、旋轉(zhuǎn)變換都是全等變換。

　　6、全等三角形常見類型

　　 翻折法：找到中心線經(jīng)此翻折后能互相重合的兩個三角形，易發(fā)現(xiàn)其對應(yīng)元素

　　 旋轉(zhuǎn)法：兩個三角形繞某一定點旋轉(zhuǎn)一定角度能夠重合時，易于找到對應(yīng)元素

　　 平移法：將兩個三角形沿某一直線推移能重合時也可找到對應(yīng)元素

　　三、經(jīng)驗之談：

　　本節(jié)開始我們學(xué)習(xí)全等三角形，全等三角形在初中幾何中應(yīng)用非常廣泛，同學(xué)們要認真學(xué)習(xí)。