六、幾種函數(shù)

符號函數(shù)：

狄利克雷 函數(shù)：

黎曼 函數(shù)：(可積（課本 ）)

黎曼函數(shù)

取整函數(shù)：（取小：取最小的整數(shù)），（也叫做：左取整函數(shù)，取最左邊的整數(shù)）

取整函數(shù)

不超過 的整數(shù) 比如

復合函數(shù)：

或 內函數(shù)的值域對映外值函數(shù)的定義域內.

6. 反函數(shù)：（ ，對于三角函數(shù)的反函數(shù)歸為一個周期內成立）

圖：

y=arcsinx

y=arccosx

y=arctanx

y=arccotx

周期函數(shù):

為有理數(shù).

備注① 有界：連續(xù)函數(shù)以 為周期必有界（不在此證明）

② 不是所有周期函數(shù)都有最小正周期。周期函數(shù)的周期是與無關的非零常數(shù)，存在沒有最小正周期的函數(shù)，而這個函數(shù)就是狄利克雷函數(shù)。狄利克雷函數(shù)是一個定義在實數(shù)范圍上、值域不連續(xù)的函數(shù)。狄利克雷函數(shù)的圖像以軸為對稱軸，是一個偶函數(shù)，它處處不連續(xù)，處處極限不存在，不可黎曼積分。實數(shù)域上的狄利克雷 函數(shù)表示為：

（ 為整數(shù)）也可以簡單地表示分段函數(shù)的形式 （是無理數(shù)）或 （ 是有理數(shù)）,假設 ， 為無理數(shù); ， 有理數(shù),由有理數(shù)和無理數(shù)的運算法則可以知道，所有的有理數(shù)與有理數(shù)的和都是有理數(shù)，有理數(shù)與無理數(shù)的和都是無理數(shù)。那么對于這個函數(shù)而言，取 為任意有理數(shù)，就都滿足了，無論 是有理數(shù)還是無理數(shù)，這就意味著狄利克雷就是一個周期函數(shù)。它的最小正周期是最小的有理數(shù)，而顯然是不存在最小的有理數(shù)的，因而這個函數(shù)也就沒有最小正周期了。

周期函數(shù)的性質共分以下幾個類型：

若是的周期，則也是的周期.

若 是的周期，則（ 為任意非零整數(shù)）也是 的周期.

若 與 都是 的周期，則 也是 的周期.

若 有最小正周期 ，那么 任何正周期 一定是 的正整數(shù)倍.

若 是 的兩個周期，且 是無理數(shù)，則 不存在最小正周期.

周期函數(shù) 的定義域 必定是至少一方無界的集合.

基本初等函數(shù):

六種初等函數(shù)

常量函數(shù)： ( 為常數(shù))

冪函數(shù)： ( 為實數(shù)) 上角實數(shù)冪

指數(shù)函數(shù)： ( )

對數(shù)函數(shù)： ( )

三角函數(shù)：

反三角函數(shù)：

初等函數(shù)：由六個基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算與復合運算所得到的函數(shù)

例如： , ,

非初等函數(shù)：反之，例如：狄利克雷函數(shù)、黎曼函數(shù).

七、補充內容

單值函數(shù)與多值函數(shù):

一般函數(shù)只有1個 值對應，但嚴格說還有多值函數(shù)，單值函數(shù).

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