向心加速度公式(向心加速度基本公式)

【知識點(diǎn)1】 勻速圓周運(yùn)動(dòng)及其描述

一、描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的快慢

1．線速度

(1)定義：線速度的大小等于質(zhì)點(diǎn)通過的弧長s跟通過這段弧長所用時(shí)間t的比值。

(2)公式：v＝s/t

(3)意義：描述做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)快慢。

(4)方向：物體在某一時(shí)刻或某一位置的線速度方向就是圓弧上該點(diǎn)的切線方向。

2．角速度

(1)定義：在圓周運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)所在半徑轉(zhuǎn)過的角度θ和所用時(shí)間t的比值，就是物體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。

(2)公式：ω＝θ/t

(3)意義：描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢。勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度是不變的。

(4)單位：在國際單位制中，角速度的單位是弧度每秒，符號為rad/s。

3．周期

(1)定義：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間叫做周期。用T表示，單位是秒，符號是s。

(2)與頻率的關(guān)系：T＝1/f.

4．轉(zhuǎn)速

(1)定義：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)稱為轉(zhuǎn)速n.

(2)單位：轉(zhuǎn)/秒(r/s)或轉(zhuǎn)/分(r/min)。

二、描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量及其關(guān)系

1．角速度、周期、轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系ω＝2π/T＝2nπ

即角速度與周期成反比，與轉(zhuǎn)速成正比。

(1)轉(zhuǎn)速n的單位為r/s.

(2)ω、T、n三個(gè)量中任意一個(gè)確定，其余兩個(gè)也就確定。

2．線速度與角速度的關(guān)系v＝rω

r一定時(shí)，v∝ω，如圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圓盤上某點(diǎn)的ω越大則v越大

ω一定時(shí)，v∝r，如時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，分針上各質(zhì)點(diǎn)的ω相同，但分針上離圓心越遠(yuǎn)的質(zhì)點(diǎn)，r越大，v也越大

v一定時(shí)，ω∝1/r，如皮帶傳動(dòng)裝置中，兩輪邊緣上各點(diǎn)線速度大小相等，但大輪的r較大，ω較小

3.線速度與周期的關(guān)系v=2πr/T，即當(dāng)半徑r相同時(shí)，周期小的線速度大。

特別提醒：

(1)v、ω、r是瞬時(shí)對應(yīng)關(guān)系，只有控制一個(gè)量不變，才能確定另外兩個(gè)量是正比還是反比關(guān)系。

(2)描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變，方向時(shí)刻變化，即線速度是變化的，而角速度、周期、轉(zhuǎn)速是不變的。

【知識點(diǎn)2】 三種傳動(dòng)方式

1.皮帶傳動(dòng)（同一皮帶不打滑）

(1)線速度：和皮帶相連的兩輪邊緣線速度大小相等v1＝v2

(2)角速度：ω1：ω2=r2：r1

(3)轉(zhuǎn)速：n1：n2=r2：r1

(3)周期：T1：T2=r1：r2

2．齒輪傳動(dòng)

A點(diǎn)和B點(diǎn)分別是兩個(gè)齒輪邊緣上的點(diǎn)，兩個(gè)齒輪輪齒嚙合。齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它們的線速度、角速度、周期存在以下定量關(guān)系：

vA＝vB，ωA：ωB=r2：r1，TA：TB=r1：r2

兩點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。

3．同軸傳動(dòng)

同軸傳動(dòng)裝置中各點(diǎn)的角速度相同，轉(zhuǎn)速相同，周期相同，距轉(zhuǎn)軸上不同半徑的各點(diǎn)線速度大小不同，即vA：vB=r1：r2.

特別提醒：在解答傳動(dòng)裝置中各物理量間的關(guān)系時(shí)，首先確定相同的量是線速度還是角速度，從而確定其他各量間的關(guān)系。齒輪傳動(dòng)和鏈條傳動(dòng)跟皮帶傳動(dòng)相似。

【知識點(diǎn)3】 向心力

1．向心力的來源：向心力是根據(jù)力的作用效果命名的。可以是重力、彈力、摩擦力等各種性質(zhì)的力，可以是某幾個(gè)力的合力，也可以是某個(gè)力的分力。

2．向心力的大小

F=ma=mv2/r=mω2r=mvω=m(2π/T)2r=m(2πn)2r

3．對公式的理解

(1)向心力公式既適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也適用于非勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

(2)向心力公式具有瞬時(shí)性，即式中各量對應(yīng)同一時(shí)刻。

(3)當(dāng)m、ω一定時(shí)，由F知F∝r；

當(dāng)m、v一定時(shí)，由F＝mv2/r 知 F∝1/r。

特別提醒：

(1)在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，物體所受的合外力一定指向圓心，充當(dāng)向心力。非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合外力不指向圓心，合外力的法向分力為向心力。

(2)任何情況的圓周運(yùn)動(dòng)，向心力的方向一定指向圓心，向心力是做圓周運(yùn)動(dòng)的物體需要的一個(gè)指向圓心的力，而不是物體又受到一個(gè)新的力。

【知識點(diǎn)4】 向心加速度

1、向心加速度

(1)定義：任何做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度都指向圓心。這個(gè)加速度叫做向心加速度。

(2)公式：①an＝v2/r；②an＝ω2r。

(3)方向：沿半徑方向指向圓心，時(shí)刻與線速度方向垂直。

2、向心加速度的方向及意義

（1）物理意義：

描述線速度改變的快慢，只表示線速度的方向變化的快慢，不表示其大小變化的快慢。

（2）方向：

總是沿著圓周運(yùn)動(dòng)的半徑指向圓心，即方向始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，方向時(shí)刻改變。

（3）圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)：

不論加速度an的大小是否變化，an的方向是時(shí)刻改變的，所以圓周運(yùn)動(dòng)一定是變加速曲線運(yùn)動(dòng)。

3、向心加速度的公式和應(yīng)用

（1）公式

an＝v2/r＝ω2r＝4π2r/T2＝4π2n2r＝4π2f 2r＝ωv.

（2）an與r 的關(guān)系

圖象如圖所示：

（3）理解

①當(dāng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑一定時(shí)，向心加速度的大小與角速度的平方成正比，也與線速度的平方成正比，隨頻率的增加或周期的減小而增大。

②當(dāng)角速度一定時(shí)，向心加速度與運(yùn)動(dòng)半徑成正比。

③當(dāng)線速度一定時(shí)，向心加速度與運(yùn)動(dòng)半徑成反比。

【知識點(diǎn)5】 生活中的圓周運(yùn)動(dòng)

一、車輛轉(zhuǎn)彎

1.自行車（或摩托車）轉(zhuǎn)彎

我們在騎自行車轉(zhuǎn)彎時(shí)，有向外滑出的趨勢，地面對自行車有指向內(nèi)側(cè)的靜摩擦力F1，這個(gè)靜摩擦力提供自行車轉(zhuǎn)彎時(shí)所需的向心力。

根據(jù)向心力公式有F=F1=mv2/r,從公式中可以看出，轉(zhuǎn)彎時(shí)所需的向心力與轉(zhuǎn)彎時(shí)的速率及半徑有關(guān)，如果轉(zhuǎn)彎時(shí)的速率過大，靜摩擦力不能滿足轉(zhuǎn)彎需要。

2.汽車轉(zhuǎn)彎

汽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時(shí)的向心力也來源于地面的靜摩擦力，根據(jù)向心力公式有F=F1=mv2/r,轉(zhuǎn)彎時(shí)所需的向心力與轉(zhuǎn)彎時(shí)的速率及半徑有關(guān)，如果轉(zhuǎn)彎時(shí)的速率過大，靜摩擦力不能滿足轉(zhuǎn)彎需要。

3.汽車在傾斜路面上轉(zhuǎn)彎

車受重力mg及路面的彈力FN作用，這兩個(gè)力的合力F水平并指向圓周彎道的圓心，充當(dāng)向心力，

由圖可知：F＝mgtanθ，依據(jù)牛頓第二定律有 mgtanθ＝mv2/r。

總結(jié)：（1）路面水平時(shí)轉(zhuǎn)彎所需的向心力由靜摩擦力力提供，若轉(zhuǎn)彎半徑為r，路面與車輪之間的最大靜摩擦力為車重的k倍，汽車轉(zhuǎn)彎的最大速度為

（2)高速公路的轉(zhuǎn)彎處,公路的外沿設(shè)計(jì)得比內(nèi)沿略高,若汽車以設(shè)計(jì)速度轉(zhuǎn)彎時(shí),汽車轉(zhuǎn)彎的向心力由重力和彈力的合力提供.

4.火車轉(zhuǎn)彎

（1）火車轉(zhuǎn)彎時(shí)的特點(diǎn)：火車轉(zhuǎn)彎時(shí)實(shí)際是在做圓周運(yùn)動(dòng)，因而具有向心加速度，需要向心力。

（2）向心力的來源

①如果轉(zhuǎn)彎處內(nèi)外軌一樣高，則由外軌道對輪緣的彈力提供向心力，這樣，鐵軌和車輪極易受損。

②如果轉(zhuǎn)彎處外軌略高于內(nèi)軌，此時(shí)鐵軌對火車的支持力不再是豎直的，而是斜向彎道內(nèi)側(cè)，它與重力的合力指向圓心，為火車轉(zhuǎn)彎提供了一部分向心力，減輕了輪緣與外軌的擠壓。適當(dāng)設(shè)計(jì)內(nèi)外軌的高度差，火車以規(guī)定的速度行駛時(shí)，轉(zhuǎn)彎時(shí)所需的向心力幾乎完全由重力與支持力的合力來提供。

二、航天器中的失重現(xiàn)象

航天員在航天器中繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，航天員只受地球引力，引力為他提供了繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力F=mv2/R,所以處于失重狀態(tài)。

航天器繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，假設(shè)它的線速度的大小為v，軌道半徑近似等于地球半徑R，航天員受到的地球引力近似等于他在地面測得的體重mg。

求：座艙對航天員的支持力為多少？

mg－FN＝mv2/r，得FN＝mg－mv2/r

當(dāng)時(shí)V=

，座艙對航天員的支持力FN＝0 ，航天員處于完全失重。

正是由于地球引力的存在，才使航天器連同其中的人和物體繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)。

三、豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)

1.汽車過拱形橋

質(zhì)量為m的汽車在拱形橋上以速度v前進(jìn)，設(shè)橋面的圓弧半徑為r，分析汽車通過橋的最高點(diǎn)時(shí)對橋的壓力。

汽車在豎直方向受到重力G和橋的支持力FN，它們的合力就是使汽車做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F。鑒于向心加速度的方向是豎直向下的，故合力為F=G-FN

當(dāng)汽車通過橋的最高點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律F=ma，有F=mv2/r

所以G-FN=mv2/r

由此解出橋?qū)嚨闹С至N=G-mv2/r

汽車的速度越大，汽車對橋的壓力越小。

2.輕繩模型

輕繩只能提供拉力，在最高點(diǎn)時(shí)，物體所受重力和繩的拉力的合力提供向心力，G+F=mv2/r

恰好過最高點(diǎn)條件：F=0，此時(shí)G=mv2/r

3.輕桿模型

輕桿既能提供拉力，又能提供支持力，在最高點(diǎn)時(shí)，物體所受重力和桿的拉力或支持力的合力提供向心力，G+F=mv2/r。

V>

時(shí)，輕桿提供拉力；V<

時(shí)，輕桿提供支持力；V=

時(shí)，輕桿恰好無作用力。

【知識點(diǎn)6】 離心運(yùn)動(dòng)和向心運(yùn)動(dòng)

1．離心運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)：由于物體具有慣性，物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)總有沿切線方向飛出的趨勢。

2．離心運(yùn)動(dòng)的受力特點(diǎn)：物體做離心運(yùn)動(dòng)并非受到離心力作用，而是外力不能提供足夠的向心力。

3．合外力與向心力的大小關(guān)系對圓周運(yùn)動(dòng)的影響(如圖所示)：

(1)若F合＝mrω2或F合＝mv2/r，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即“提供”滿足“需要”。

(2)若F合＞mrω2或F合＞mv2/r，物體做半徑變小的近心運(yùn)動(dòng)，即“提供過度”，也就是“提供”大于“需要”。

(3)若F合＜mrω2或F合＜mv2/r，則外力不足以將物體拉回到原軌道上，而做離心運(yùn)動(dòng)，即“需要”大于“提供”或“提供不足”。

(4)若F合＝0，則物體沿切線方向做直線運(yùn)動(dòng)。

特別提醒：

(1)離心運(yùn)動(dòng)不是物體沿半徑方向飛出，而是物體沿切線或沿圓與切線之間的某一曲線運(yùn)動(dòng)。

(2)離心運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)是慣性，而不是物體受到了“離心力”的作用。

4.離心現(xiàn)象的應(yīng)用、危害與防止

(1)應(yīng)用：離心干燥器、離心分離器、脫水桶、投擲鏈球。

(2)危害與防止：車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)易出現(xiàn)交通事故，拐彎時(shí)應(yīng)減小速度。