周蒙問(wèn)了我兩道題

前言：本文作者是龍盤(pán)湖國(guó)際學(xué)校許莎老師，曾經(jīng)的一位學(xué)生，現(xiàn)就讀重點(diǎn)高中，跑回來(lái)問(wèn)了許老師兩道高中數(shù)學(xué)題，以這兩道題的解讀為例，展現(xiàn)研題的部分過(guò)程，原文如下：

周蒙現(xiàn)在在夷陵，以前我在六班替老王上過(guò)一節(jié)課，他們就認(rèn)識(shí)了我，然后今年過(guò)年來(lái)問(wèn)了我兩道題。

1.棱長(zhǎng)為4的正方體有蓋容器內(nèi)放入兩個(gè)體積相同的金屬小球（蓋子能夠閉合），則小球半徑的最大值為（ ）

A. 4-2√2 B.2√6-2√3 C.1 D.3-√3

關(guān)于這個(gè)題，我的第一反應(yīng)是，他不會(huì)畫(huà)圖，所以不會(huì)計(jì)算。尤其是球不會(huì)畫(huà)，球在立體圖形中不好畫(huà)。然后我自己想了一下，我的疑惑是，這兩個(gè)球的球心連線(xiàn)會(huì)不會(huì)在正方體的體對(duì)角線(xiàn)上呢？其實(shí)我自己也不太好想象這個(gè)圖的平面圖像是什么樣。于是我找了兩個(gè)健身球和一個(gè)盒子擺了一下。

我發(fā)現(xiàn)當(dāng)盒子為長(zhǎng)方體的時(shí)候球心連線(xiàn)肯定不在體對(duì)角線(xiàn)上。那么當(dāng)盒子為正方體時(shí)，球心連線(xiàn)會(huì)不會(huì)在體對(duì)角線(xiàn)上呢？

網(wǎng)友的答案是這樣的，當(dāng)然沒(méi)有畫(huà)圖，因?yàn)椴缓卯?huà)。只是用文字進(jìn)行了敘述。

提問(wèn)：正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切，為什么兩球的球心在體對(duì)角線(xiàn)上

寫(xiě)出詳細(xì)的證明過(guò)程來(lái)。

回答：兩球與正方體內(nèi)切說(shuō)明兩球的圓心分別到切面的距離相等（為圓的半徑）正方體體對(duì)角線(xiàn)上的點(diǎn)到最近的三個(gè)面的距離相等（當(dāng)點(diǎn)是體心時(shí)，到六個(gè)面距離都相等）所以?xún)蓚€(gè)球的球心在體對(duì)角線(xiàn)上。

根據(jù)網(wǎng)友的回答，我畫(huà)出了這樣的圖來(lái)進(jìn)行證明。

過(guò)P點(diǎn)作面A’B’C’D’的垂線(xiàn)P’G，作面AA’B’B的垂線(xiàn)PE，作面BB’C’C的垂線(xiàn)PF

∵P在BD’上

∴P’在D’B’上

∵D’B’為∠A’B’C’的角平分線(xiàn)

∴P’E=P’F’

∴PE=PF

∵PG∥DD’

∴PG:DD&39;=BG:BD

∵BD=√2DD&39;

∴BG=√2PG=PH=√2PF

∴PG=PF

∴PG=PF=PE

∴點(diǎn)P為球心

∴與正方體三個(gè)面內(nèi)切的球心都在體對(duì)角線(xiàn)上

于是這個(gè)題就很好畫(huà)出正方體對(duì)角面上的平面圖，從而開(kāi)始計(jì)算。

在畫(huà)圖的過(guò)程中，我第一次犯了一個(gè)錯(cuò)誤。

我把圖畫(huà)成了這樣，根據(jù)勾股定理，列出方程為：

r2-(4√2+4)r+12=0

這個(gè)方程解出來(lái)沒(méi)有選項(xiàng)的結(jié)果。但是看這個(gè)圖好像沒(méi)有

表達(dá)上的錯(cuò)誤。于是我覺(jué)得肯定是我的圖畫(huà)錯(cuò)了。

錯(cuò)誤在哪呢？這個(gè)圖看上去也挺科學(xué)的啊。

于是我又仔細(xì)看了一下第一個(gè)實(shí)物圖。

發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題的所在，原來(lái)我這個(gè)平面圖畫(huà)的是實(shí)物圖

的俯視圖，而從對(duì)角面看過(guò)去，圓的左右與側(cè)棱是沒(méi)有

相切的。這也是同學(xué)們?nèi)菀追傅腻e(cuò)誤，直觀(guān)圖變平面圖

很容易被我們所看見(jiàn)的迷惑。

經(jīng)過(guò)修改，我畫(huà)出了正確的平面圖像。

∵△O1O2M∽△BD’D

∴

∴

∴

在我的不懈努力下終于把對(duì)角面圖畫(huà)出來(lái)了~

學(xué)生肯定無(wú)法在紙上畫(huà)出立體圖形，那么我們

就必須讓學(xué)生先從實(shí)物觀(guān)察入手，然后通過(guò)抽象思維

建立模型，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形。

因此我認(rèn)為，幾何學(xué)習(xí)，尤其是立體幾何的學(xué)習(xí)，

動(dòng)手操作和實(shí)際觀(guān)察是非常重要的。

數(shù)學(xué)建模應(yīng)該是：實(shí)際→數(shù)學(xué)模型→實(shí)際

而不是沒(méi)有任何感知就讓學(xué)生把圖畫(huà)出來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

后面兩幅圖是我使出了洪荒之力才畫(huà)出來(lái)的~

太棒了~

希望所有的同學(xué)們能夠有認(rèn)知能力和畫(huà)圖能力，

PS：用斜二側(cè)畫(huà)法才是最好看的！

所以在七年級(jí)學(xué)習(xí)立體圖形的時(shí)候就要貫徹斜二側(cè)畫(huà)法

只有斜二側(cè)畫(huà)法才能最有立體感且不會(huì)讓有的線(xiàn)被擋住。

2.已知函數(shù)

，若

與

的圖像有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 。

這個(gè)題目典型的數(shù)形結(jié)合思想，要畫(huà)函數(shù)圖像，他說(shuō)他不會(huì)畫(huà)第二個(gè)函數(shù)的圖像，這個(gè)是典型的冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)乘積的形式的圖像。在沒(méi)有學(xué)導(dǎo)數(shù)之前，沒(méi)有辦法通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)確定原函數(shù)的增減性。那么我們可以通過(guò)一些直觀(guān)的判斷來(lái)大致確定函數(shù)圖像。

由觀(guān)察得當(dāng)x=0的時(shí)候，帶入第1式得f(x)=0,那么當(dāng)x=0時(shí)，帶入第2式，也是可以得到f(x)=0的。有的同學(xué)就會(huì)說(shuō)，第2個(gè)式子取不到0啊，事實(shí)上，這只是為了定義域表示的不重復(fù)，我們知道lnx的x為0的時(shí)候，函數(shù)值是趨近于負(fù)無(wú)窮大的，那么2xlnx在x=0的時(shí)候，它的值也是為0的。所以說(shuō)f(x)也是一個(gè)在全體實(shí)數(shù)上連續(xù)的函數(shù)。因此我們能很快的知道當(dāng)x>0時(shí)在x=1的時(shí)候f(1)=0。所以說(shuō)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)之間一定是先遞減再遞增，因?yàn)楫?dāng)x在(0,1)之間時(shí)f(x)<0。這樣我們就可以大致畫(huà)出函數(shù)圖像了。

對(duì)于一般函數(shù)函數(shù)的圖像的畫(huà)法，除了求導(dǎo)，因?yàn)榍髮?dǎo)比較耗時(shí)，有時(shí)候有的求導(dǎo)了之后也無(wú)法計(jì)算，所以我們需要有能夠?qū)竞瘮?shù)的圖像有大致推斷的能力。這在必修1學(xué)習(xí)完第2章就應(yīng)該具備這樣的能力。然而大多數(shù)同學(xué)把基本初等函數(shù)的圖像當(dāng)做一個(gè)一個(gè)孤立的內(nèi)容去學(xué)習(xí)，沒(méi)有找到他們之間的聯(lián)系。所以感覺(jué)做函數(shù)的題目舉步維艱，無(wú)法判斷單調(diào)性。所以就會(huì)有畏難情緒。大多數(shù)時(shí)候，我們的恐懼是來(lái)自于那些對(duì)未知事物的不確定性。對(duì)于函數(shù)圖像的不確定性就是學(xué)習(xí)函數(shù)的最大障礙。

下面我們來(lái)一起總結(jié)一下如何推斷一些常見(jiàn)的函數(shù)的圖像情況。

這個(gè)函數(shù)是我們學(xué)過(guò)的對(duì)勾函數(shù)，是一個(gè)雙曲線(xiàn)，也叫“耐克函數(shù)”。

這是以x=0和y=x為漸近線(xiàn)的一組雙曲線(xiàn)，有最值，無(wú)零點(diǎn)。

，如果把對(duì)勾函數(shù)的中間改成-號(hào)，圖像會(huì)變成什么樣呢，很顯然，這個(gè)函數(shù)就會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)。分別為1或-1。當(dāng)x>0時(shí)，x當(dāng)然是趨近于+∞，1/x是趨近于+0，因此，x-1/x是趨近于+∞。當(dāng)x趨近于+0的時(shí)候，1/x趨近于+∞，那么就說(shuō)明x-1/x=0-(+∞)，因此，x-1/x趨近于-∞。那么我們就可以判斷出，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)是由-∞遞增到+∞，當(dāng)x=1時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)。而f(x)為奇函數(shù)，因此當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x=-1時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)。這樣我們就畫(huà)出了f(x)的圖像。

所以我們總結(jié)一下推斷函數(shù)圖像的方法：

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