作者 | 劉瑞祥

為什么會有不等式這種東西？有人會從哲學上說“相等是相對的，不等是絕對的”，但這不是我今天要說的問題。不等式是和實數的“三歧性公理”密切相關的。這條公理是說，對于任意兩個實數a、b，有且只有a＞b、a＝b、a＜b之一。這是所謂實數“序結構”公理之一，而按照布爾巴基學派的觀點，數學就是研究結構的學科。

但這有什么用呢？一個比較容易看出的用處是，如果我們直接證明a＝b困難，那不妨證明a＞b不可能，然后再證明a＜b也不可能（往往一句“同理可證”就行了），就能得到結論了。而在古希臘，這種方法頻繁地用于所謂“窮竭法”中，以此來推出圓面積、棱錐和球的體積公式。這在《幾何原本》里有詳細的論述。

《幾何原本》里用到三歧性公理的還有比例定義，據說這是歐多克斯所給出的：

有四個量，第一量比第二量與第三量比第四量叫做相同比，如果對第一與第三個量取任何同倍數，又對第二與第四個量取任何同倍數，而第一與第二倍量之間依次有大于、等于或小于的關系，那么第三與第四倍量之間便有相應的關系。

即：設a、b是同類的兩個量，c、d也是同類的兩個量，對任何的正整數m與n，若三個關系式ma＞nb、ma＝nb、ma＜nb之一成立，必有mc＞nd、mc＝nd、mc＜nd中對應的那個成立，則稱a、b、c、d成比例。

這個定義所以如此繁瑣，是因為要避開“無理量”運算。以 為例，說它和另外一個量加減很容易，只要在線段上順次或者反向截取就行，讓它乘以另外一個量則只要給出一個面積就行，讓它除以一個整數的話需要等分，也完全能作到。但是要讓無理量作除數可就麻煩大了：你怎么證明 除以 等于 除以2？這需要有嚴密的理論，在古希臘就用前面的比例定義結合由此推出來的定理進行計算。

話說到這里，我想起了我高中時想到的一個問題：比如指數函數y=2^x，當x為整數時（不論正負）沒有問題，可以得到一個精確的結果，取分數可以看作開方，但是書里給的圖像是一條連續的曲線（自然，那時我還沒有聽說過“連續”這個詞），而且定義域也是全體實數。所以一個顯而易見的疑惑是，如果x取無理數怎么辦？我的小腦袋當然不可能對這個問題有太深刻的思索，但我當時已經想到，是不是可以這樣：以x=3.14159……為例，可以先讓x=3，然后再讓x等于3.1、3.14、3.141……，大概就會慢慢接近于真正的結果了。

類似的問題反復出現。比如某個非常數的函數f(x)滿足f(a+b)=f(a)f(b)，當時老師給出的問題是求f(0)，方法是令a和b之一為0，但是我進一步想到這不就是指數函數嗎？但是怎么證明呢？對于自變量取有理數的情況很好處理，可自變量取無理數怎么辦？還有比如一個三角形正投影到另外一個平面上，形成的新三角形面積和原來三角形的面積之比為cosθ（θ為原三角形所在平面與投影面的夾角），這個結論擴展為一般的多邊形很容易，但能不能用這個關系推導出橢圓面積公式？這是因為當時我已經看過這個式子但沒有過程，而且當時我也不會微積分。要用這里提到的投影方法推導橢圓面積，必須證明面積具有可加性。

很多人贊頌過《幾何原本》比例論的巧妙，但這個比例定義曾經困擾過許多歐洲數學家，使他們很長時間都不能接受負數：因為1:(-1)=(-1):1，大比小卻等于小比大，這怎么可能呢？

下面回到《幾何原本》。書中第五公理說到：“整體大于部分”，這是全書唯一一個關于不等關系的公理。但這一定是正確的嗎？比如全體實數和某個區間內的實數孰多孰少？看，如果我們關心的不是“長度”而是“多少”，立馬就不一樣了。這涉及集合的“勢”的概念。一個中學生可能天然地認為“實數比有理數多”的結論卻不能接受“整數和有理數一樣多”，盡管兩者都是正確的，但即使對于前者其實也并無了解，也就是說，他和康托所認為的并不是一回事。

《幾何原本》和不等式有關的另外一個比較重要的東西涉及到【X.1】，歐幾里得用【V.定義4】——一個量的若干倍大于另一量，就說這兩個量有一個比——來論述不可公度量（即今之無理數）的存在。而這個定義后來被阿基米德改造為一條公理，再以后被希爾伯特吸收在了他的《幾何基礎》里。

希望讀者們能深入讀一讀《幾何原本》和《幾何基礎》。