按下列步驟來判斷區間I上的連續曲線y=f(x)的拐點：

（1）求f''(x)；

（2）令f''(x)=0，解出此方程在區間I內的實根，并求出在區間I內f''(x)不存在的點；

（3）對于（2）中求出的每一個實根或二階導數不存在的點x0，檢查f''(x)在x0左右兩側鄰近的符號，那么當兩側的符號相反時，點（x0,f(x0)）是拐點，當兩側的符號相同時，點（x0,f(x0)）不是拐點。

為正確理解拐點的定義，可以參考以下例題。

拐點

拐點，又稱反曲點，在數學上指改變曲線向上或向下方向的點，直觀地說拐點是使切線穿越曲線的點（即連續曲線的凹弧與凸弧的分界點）。

已知函數的拐點為斜率最大的點，而斜率的表示為一階導數，最大值為二階導數等于0的點。

y=-x^3+3x-2

y'=-3x^2+3

由一階導數可以推出，當x=0時，斜率最大為3，即x=0為拐點，代入方程得:

y=-(0)^3+3×0-2=-2，即拐點坐標為(0，-2)

已可以求二階導數:

y"=-6x

令y"=0→-6x=0→x=0，

代入原方程解得:y=-2。

即拐點為(0，-2)

判斷方法：（1）求這個函數的二階導數；（2）若二階導數在這個點的左邊和右邊的正負性不同，則這個點就是拐點；若在這個點的左邊和右邊的正負性相同，則這個點就不是拐點。

?拐點的必要條件

設f(x）在（a,b）內二階可導，x0∈（a,b），若（x0,f(x0））是曲線y=f(x）的一個拐點，則f‘’（x0)=0。

拐點的充分條件

設f(x）在（a,b）內二階可導，x0∈（a,b），則f‘’（x0)=0，若在x0兩側附近f‘’（x0）異號，則點（x0,f(x0））為曲線的拐點。否則（即f‘’（x0）保持同號，（x0,f(x0））不是拐點。

當函數圖像上的某點使函數的二階導數為零，且三階導數不為零時，這點即為函數的拐點。

若函數y=f(x）在c點可導，且在點c一側是凸，另一側是凹，則稱c是函數y=f(x）的拐點。另外，如果c是拐點，必然有f''(c)=0或者f''(c）不存在；反之則不成立；比如，f(x)=x^4，有f''(0)=0，但是0兩側全是凸，所以0不是函數f(x)=x^4的拐點。

函數的拐點是事物發展過程中運行趨勢或運行速率的變化，也就是指凸曲線與凹曲線的連接點，當函數圖像上的某點使函數的二階導數為零，且三階導數不為零時，這點即為函數的拐點。

函數在數學上的定義：給定一個非空的數集A，對A施加對應法則f，記作f（A），得到另一數集B，也就是B=f（A），那么這個關系式就叫函數關系式，簡稱函數。

若函數y=f(x)在c點可導，且在點c一側是凸，另一側是凹，則稱c是函數y=f(x)的拐點。我們可以按下列步驟來判斷區間I上的連續曲線y=f(x)的拐點： （1）求f''(x)； （2）令f''(x)=0，解出此方程在區間I內的實根，并求出在區間I內f''(x)不存在的點； （3）對于（2）中求出的每一個實根或二階導數不存在的點x0，檢查f''(x)在x0左右兩側鄰近的符號，那么當兩側的符號相反時，點（x0,f(x0)）是拐點，當兩側的符號相同時，點（x0,f(x0)）不是拐點。