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三元均值不等式的成立條件：均值不等式，又名 平均值不等式、 平均不等式，是數學中的一個重要公式：公式內容為H n≤G n≤A n≤Q n，即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數。
函數 y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)
值域 (0 , +∞) f(x) ＞ 0
一階導數 (q/p)*x^( (q-p)/p )
二階導數 ( (q2 - pq)/p2 )*x^( (q - 2p)/p )
p＞q＞0 圖像性質 凸函數
0＞p＞q 圖像性質 凹函數
p＞0 , q＜0 圖像性質 凹函數
利用函數 y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0) 的性質結合Jensen不等式來證明冪平均不等式。
回顧Jensen不等式：
Ai ≥ 0時 且 A1 + A2 + ...... + An = 1
若函數f(x)是凹函數則有：
f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≤ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn) n≥1
若函數f(x)是凸函數則有：
f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≥ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn) n≥1
等號成立條件 X1 = X2 = ...... = Xn
均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數學中的一個重要公式
均值不等式的公式內容為Hn≤Gn≤An≤Qn。
基本不等式是主要應用于求某些函數的最值及證明的不等式。其表述為：兩個正實數的算術平均數大于或等于它們的幾何平均數。基本不等式的四種形式：
1、a2+b2≧2ab(a，b∈R)
2、ab≦(a2+b2)/2(a，b∈R)
3、a+b≧2√ab(a，b∈R﹢)
4、ab≦[(a+b)/2]2(a，b∈R﹢)
a^2+b^2≥2ab
√(ab)≤(a+b)/2≤（a^2+b^2）/2
a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+ac
a+b+c≥3×三次根號abc
均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數學中的一個重要公式。公式內容為Hn≤Gn≤An≤Qn，即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數。
擴展資料：
特例
⑴對實數a,b，有?
?（當且僅當a=b時取“=”號），?
?（當且僅當a=-b時取“=”號）
⑵對非負實數a,b，有?
?，即?
⑶對非負實數a,b，有?
⑷對非負實數a,b，a≥b,有?
⑸對非負實數a,b，有?
⑹對實數a,b，有?
⑺對實數a,b,c，有?
⑻對非負數a,b，有?
⑼對非負數a,b,c，有?
；在幾個特例中，最著名的當屬算術—幾何均值不等式（AM-GM不等式）：
當n=2時，上式即：
；當且僅當?
?時，等號成立。
根據均值不等式的簡化，有一個簡單結論，即?
?。
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